Алгебра

Наука
Математика
Тема	Алгебра
Предмет изучения	операции над математическими объектами и системами, представление математических утверждений в виде решений задач
Период зарождения	II век до н.э.
Основные направления	математика
Вспомогат. дисциплины	Арифметика, Элементарная алгебра, Линейная алгебра, Общая алгебра, Универсальная алгебра, Алгебраическая комбинаторика

А́лгебра (от араб. اَلْجَبْرُ‎ аль-джабр — восстановление (разрозненных) частей, восстановление равенства, уравнение, восполнение) — раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над математическими объектами и влияет на формирование общих понятий и методов математики.

Алгебра изучает представление математических утверждений в виде решений задач. Для создания осмысленного математического выражения используются такие переменные, как x, y и z, а также математические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.

Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел

Исторический очерк

Истоки алгебры уходят в глубь тысячелетий: упоминания о базовых операциях с натуральными числами и дробями можно обнаружить уже среди первобытных источников. Более четырёх тысяч лет назад, в эпоху Древнего Египта (около 1650 года до н. э.), писцы решали абстрактные линейные уравнения и элементарные квадратные уравнения — такие как знаменитые проблемы «Задача о грабителях» папируса Ринда. Основным инструментом служило «правило ложного положения», которое впоследствии редко применяли вавилонские учёные.

Вавилонская математика достигла выдающих высот в решении квадратичных уравнений без использования отрицательных чисел — их методы полностью соответствовали современным формулам для корней. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для суммы квадратов, либо правило для произведения разности и суммы. Вавилоняне также решали кубические уравнения, вводя специальную терминологию: «длина» (первая неизвестная), «ширина» (вторая) и «высота» или «глубина» (третья). Создавались математические символы для производных величин — например, «поле» как произведение длины на ширину, и объём как их кубическое произведение. Несмотря на геометрическую природу терминов, они использовались абстрактно.

Для решения квадратных уравнений требовалось владение алгебраическими преобразованиями и операции с неизвестными величинами — это стало фундаментом для выделения особого класса математических проблем, где применение алгебры было неотъемлемым. Таким образом, зарождение алгебраических методов в древности демонстрирует глубокое понимание структуры числовых отношений и отход от чисто практического подхода к абстрактному мышлению.

Портрет Евклида кисти Андре Теве, 1584 год

После открытия несоизмеримости гипотенузы и стороны квадрата в греческой математике возник кризис, преодоление которого стало возможным благодаря приоритету геометрии как фундамента науки. Евклид, Архимед и Аполлоний разрабатывали алгебраические методы на основе геометрических фигур: отрезков, прямоугольников и параллелепипедов для определения сложения, вычитания и умножения (прямоугольник как произведение двух отрезков). Таким образом, алгебра изначально базировалась на планиметрии с акцентом на решении квадратных уравнений. В Древней Греции олицетворяют инновационные подходы к уравнениям. А так же операции с первой и второй степенью и внедрение отрицательных чисел (Диофант Александрийский в III веке).

Происхождение термина «алгебра» связывается с трудами Мухаммада бен Муссы аль-Хорезми — «Альджебр аль-мукабала» IX века, где заложены основы науки как отдельного направления. Первые шаги по систематичному применению отрицательных чисел были сделаны индийскими математиками на рубеже X столетия. В конце XV века в математических трактатах появляются знаковые символы: (+), (-) для арифметики, обозначения степеней и корней, скобки.

Франсуа Виет — французский математик, основоположник символической алгебры.

Французский ученый Франсуа Виет (конец XVI века) предложил буквенное представление переменных величин. Ключевой поворот в признании отрицательных чисел произошел благодаря Рене Декарту с внедрением аналитической геометрии, что к середине XVII века сформировало современную алгебраическую символику.

В XVII—XVIII веках основу алгебры составляло изучение преобразований буквенных выражений и решение соответствующих уравнений; арифметику же ограничивали задачами числовых расчётов. Российская наука того времени получила значительный рывок благодаря «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 год), в которой заложены основы алгебраических представлений. «Введение в алгебру», созданное Леонардом Эйлером и впервые опубликованное на русском языке с 1768 по 1769 годы, охватывало широкий спектр тем: от целых чисел до десятичных дробей; включало изучение корней (в том числе квадратных), логарифмов и алгебраических уравнений I—IV степеней. Особое внимание уделялось прогрессиям, биному Ньютона, диофантовым уравнениям — формируя тем самым концепцию элементарной алгебры.

Решение в радикалах для однородных многочленов подразумевало нахождение корней через операции сложения, вычитания и извлечения корней. В истории науки итальянцы XVI века внесли вклад с формулой Кардано (3-х степенные уравнения), а метод Феррари стал ключевым для 4-х степеней. Голландский математик Альбер Жирар в начале XVII века заложил основы теории алгебраических многочленов, утверждая существование комплексных корней (позднее доказанное Карлом Гауссом). Развитие включало изучение систем уравнений с несколькими переменными; появление понятий матрицы и определителя связано с работами Готфрида Лейбница в 1693 году, что положило начало теории линейной алгебры.

Лейбниц, Готфрид Вильгельм — немецкий философ, математик, физик, юрист.

Жозеф Лагранж (1759 год) предложил метод квадратизации форм, приближая понимание к современному анализу многочленов. Период с XVII по XIX век ознаменовался переходом от узкого определения «алгебра» как науки о преобразованиях и решения уравнений к более широкому — «анализ алгебраических структур», включая введение понятий умножения подстановок (Паоло Руффини, Огюстен Коши) и формирование теории конечных групп (О.Коши, 1815 год).

В середине XIX века произошла революция в теории алгебраических уравнений:

• в 1824 году Нильс Абель установил невозможность радикального решения четырёхчленов выше упрощенной формулой;
• теория Галуа, сформулированная Эваристом Галуа в 1830—1832 годах, впервые дала общий критерий разрешимости уравнений в радикалах.

В это же время:

• Николай Иванович Лобачевский представил (в 1834 году) методы приближенного решения высших степеней;
  

  Лобачевский, Николай Иванович — российский математик, создатель неевклидовой геометрии
• Франсуа Штурм предложил алгоритмический подход к определению корней для многочленов с действительными коэффициентами на отрезке (1829 год).

С середины XIX века акцент сместился:

• Карл Гаусс в 1831 году заложил стройные основы теории комплексных чисел и предложил композицию квадратичных форм;
  

  Гаусс,Иоганн Карл Фридрих — немецкий математик, физик, механик, астроном и геодезист.
• Уильям Гамильтон (1843—1865 годы) внедрил концепцию кватернионов, развив их теорию;
• Герман Грассман в 1844 году заложил основы многомерной алгебры и тензорного исчисления.

В этот период:

• Артур Кэли (1846—1858 годы) сформировал базис теории инвариантов, начав разработку матричной алгебры;
• Джордж Буль в 1854 году создал булеву алгебру и логические исчисления. Ключевые достижения конца XIX века:
• Камиль Жордан (1870 год) опубликовал фундаментальный курс по теории групп, включая понятие факторгруппы;
• Теорема Жордана—Гёльдера (1869 год) определила условия изоморфизма в композиционных рядах.

В 70-е годы XIX века: Сунь Ятсен Ли внедрил основы теории групп Ли, решающую проблемы разрешимости дифференциальных уравнений и непрерывных преобразований.

Конец XIX — начало XX веков ознаменовали переход алгебры к современному этапу развития:

• объединение различных областей на общей аксиоматической основе;
• расширение применения в математике, физике и других науках;
• создание новых разделов: абстрактная алгебра, теория колец, модулей.

Этот период стал золотым веком развития алгебры как науки. В начале XX века благодаря работам ведущих математиков произошел радикальный переворот в понимании и структурировании алгебры как дисциплины. Необходимо отметить вклад некоторых из них.

Дэвид Гильберт:

• теория инвариантов (1890-е) — заложил основы современной теории представлений;
• идеалы многочленов (1893—1898 годы): систематическое исследование структур идеалов и алгебраической геометрии;
• теория алгебраических чисел: фундаментальные работы в этой области.

Эмиль Артин:

• ввёл понятия в условия минимальности для колец (1944 год);
• исследовал структуры полупростых колец совместно с Фёдором Эдуардовичем Молиным и Джозефом Веддербёрном;
• теория упорядоченных полей в сотрудничестве с Эрнстом Штайницем.

А так же, совместно с Максом Зоргенфриденом разработал классификацию полупростых колец, что стало ключевым достижением структурной алгебры.

Эмми Нётер ввел понятия максимальных идеалов (1927 год), что привело к развитию теории кольцевых структур. Б.Л. ван дер Варден, в своей книге «Современная алгебра» (1930 год) подвёл обобщающий итог развития абстрактной алгебры и представил систематизированное изложение новых понятий и структур: колец, идеалов, полей с различными условиями минимальности/максимальности. Этот период стал золотым веком для абстрактной алгебры, когда были заложены основы современного понимания и структурирования этой области математики.

Некоторые разделы алгебры

Алгебра делится на несколько важных разделов, каждый из которых имеет свою направленность и применение:

• Элементарную алгебру.
• Общую алгебру.
• Универсальную алгебру.
• Линейную алгебру.
• Алгебраическую комбинаторику.

Элементарная алгебра

Формула вычисления корней квадратного уравнения

Элементарная алгебра — фундаментальный раздел математики, являющийся продолжением арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие действия с ними: сложение, вычитание, умножение и деление. В алгебре формулы приобретают универсальность благодаря символическому представлению, заменяя конкретные числа на буквенные символы, за счёт чего при решении однотипных задач достигается максимальная общность результата.

Алгебра как система тождественных преобразований включает в себя:

1. Правила упрощения выражений: комбинации, ассоциативные и коммутативные свойства.

2. Решение уравнений с переменными.

3. Анализ структур зависимостей, выявление условий равенств, неравенств и их связей.

Эта дисциплина служит ключевым инструментом для:

• понимания закономерностей в математике;
• решения практических задач, оптимизации систем;
• разработки алгоритмов и моделей.

Общая алгебра

Перестановки Кубика Рубика образуют группу — центральное понятие в общей алгебре

Алгебра общего плана (в том числе известная под названиями «абстрактной» или «высшей») — математическая дисциплина, сосредоточенная на исследовании алгебраических конфигураций и структур: групп, колец, полей, модулей, решёток. Такие образования рассматриваются как совокупности операций (бинарных или более сложного типа), включая полугруппы/квазигруппы с одной бинарной операцией; моноиды, кольца и поля — двухоперационные структуры; а также модули над кольцами, векторные пространства, алгебры Ли. Сюда же входят специфические конструкции: тернарные алгебры, полиадические группы алгебры (например многомерных), многосортные системы.

Для анализа этих структур применяются универсальные методы и понятия: отображения между системами описываются через гомеоморфизмы, изоморфизмы, автоморфизмы; внутреннее устройство исследуется с помощью подструктур (подгруппы/подкольца/подрешетки) и факторных систем (например, факторгруппы или факторкольца).

Особое внимание уделяется универсальной алгебре — области, где формализуются общие свойства всех этих структур. Теория категорий, как часть общей алгебры, изучает их характеристики и взаимосвязи через абстрактные понятия объектов, морфизмов (отображений), функторов, что обеспечивает широкое применение в различных областях математики — от топологии до логики и теории множеств.

Универсальная алгебра

Универсальная алгебра, ключевая область математики, сосредоточена на изучении обобщённой структуры алгебраических систем — групп, колец и модулей, а также решёток. Её особенность заключается в выделении единого понятия «алгебраическая система» как наиболее общего объекта, объединяющего разнообразие этих структур с общими свойствами: гомоморфизмами и фактор-системами.

В фокусе исследований — аксиоматизация таких систем, включая многообразия (определяемые тождественными условиями) и квазимногообразия, опирающиеся на квазитождества. Эта дисциплина занимает стратегическое место между математической логикой и общей алгеброй как мост, реализующий формализмы логики в рамках общих алгебраических структур.

Линейная алгебра

Линейная алгебра — это ветвь алгебры, посвященная изучению векторных пространств и их подпространств, линейным преобразованиям (операторам), а также функционалам на этих пространствах. Исторически первым направлением стала теория систем линейных уравнений:

• в 1750 году Габриэль Крамер предложил решения для таких систем при условии равенства числа неизвестных и уравнений, с не нулевым определителем;
• метод Гаусса (1849 год) стал основой практического подхода к решению линейных уравнений;
• в 1877 году Фердинанд Фробениус ввел понятие ранга матрицы, что позволило формально сформулировать условия совместности и определённости систем.

К концу XIX века завершилось формирование полноценной теории систем линейных уравнений на основе этих концепций.

Алгебраическая комбинаторика

Алгебраическая комбинаторика — это междисциплинарная область, в которой используются методы универсальной алгебры (включая теорию групп и представлений) для решения комбинаторных задач. Комбинаторные техники применяют к алгебраическим проблемам.

Ключевыми аспектами являются:

• Применение структурной теории в анализе перестановок, графов, кодов и других комбинаторных объектов.
• Использование представлений групп для изучения симметрий в комбинаторике (например, группы симплектических преобразований).
• Разработка алгебраических моделей для описания сложных структур.

Ссылки

• Алгебра // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.