Логарифм

Наука
Математика
Тема	Логарифм
Предмет изучения	действия с логарифмами
Период зарождения	XVI век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ, криптография

Логарифм (от греческих слов logos — «отношение» и arithmos — «число», а вместе — «число отношений») положительного числа $b$ по основанию $a$, где $a>0$, $a\neq 1$ — это показатель степени, в которую надо возвести число $a$, чтобы получить $b$.

Например, число $log_{2}3$ — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 3.

Графики логарифмической и показательной функций

Эквивалентная запись определения логарифма: $a^{log_{a}b}=b$. Равенство $log_{a}x=y$ означает, что $a^{y}=x$.

Логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число $log_{2}(-3)$ не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим (−3).

Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа a и b чаще всего бывают вещественными, также существует теория комплексных логарифмов.

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой $y=x$.

Например, $log_{2}32=5$, так как $2^{5}=32$; $log_{10}0,0001=-4$, так как $10^{-4}=0,0001$.

В записи $log_{a}x$ число $a$ — основание логарифма, $x$ — логарифмируемое число.

Логарифмы обладают уникальными свойствами и их начали использовать для существенного упрощения трудоёмких вычислений. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня ‒ действия, гораздо более трудоёмкие, чем сложение и вычитание, особенно тогда, когда нужно производить действия с многозначными числами. Настоятельная потребность в таких действиях впервые возникла в XVI веке в связи с развитием дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических наблюдений и вычислений. На почве астрономических расчётов и возникли на рубеже XVI и XVII веков логарифмические вычисления.

В настоящее время эти вычисления применяются повсюду, где приходится иметь тело с многозначными числами. Они выгодны уже при действиях с четырёхзначными, числами и совершенно необходимы в тех случаях, когда точность должна доходить до пятого знака. Большая точность на практике требуется очень редко.

Ценность логарифмического метода состоит в том, что он сводит умножение и деление чисел к сложению и вычитанию ‒ действиям менее трудоемким. Возведение в степень, извлечение корня, а также и ряд других вычислений (например, тригонометрических) также значительно упрощаются. Сами же логарифмы могут быть и отрицательны; отрицательные логарифмы столь же важны на практике, как положительные.

Логарифмы и логарифмические шкалы используются во многих областях научных знаний, а не только в математике, например, в физике, экономике, астрономии, биологии, химии, музыке, а также в других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д.

Например:

• интенсивность звука (децибелы) в физике;
• шкала яркости звёзд в астрономии;
• активность водородных ионов (pH) в химии;
• шкала Рихтера для определения интенсивности землетрясения в сейсмологии;
• логарифмическая шкала времени в истории.

История

Предпосылки к открытию

Предпосылки к открытию логарифмов были уже в Античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней с натуральным показателем. Большой толчок к развитию не только математики, но и других естественных наук дала Эпоха Великих Географических Открытий. Население росло, запасы истощались, и в поисках новых земель и приключений отважные мореплаватели отправлялись бороздить просторы всех шести океанов. И, чтобы точно проложить курс через моря и океаны, сложить 5 и 7 было явно недостаточно. Нужны были сложные расчеты с привязкой к звёздному небу, учитывающие расположение звёзд и конфигурацию планет, для определения курса корабля, а калькулятор в карманы лосин, туго обтягивающих бедра капитана корабля, не помещался. Астрономы тратили несколько месяцев на трудоёмкие расчёты с многозначными числами. В середине XV столетия, сопоставляя значения геометрических и арифметических прогрессий, кому-то из светлых умов пришла идея в расчётах заменить умножение многозначных чисел с громоздкими результатами сложением, взяв геометрическую прогрессию за исходную. Впервые примеры таких расчётов в 1544 году в книге «Arithmetica integra» опубликовал Михаэль Штифель. Революционной идей ученого был переход от целых показателей степеней к произвольным рациональным числам. Однако развивать свою идею дальше и составлять таблицы для вычислений он не стал.

Джон Непер — отец логарифмов

В начале XVI века два учёных, не зная об исследованиях друг друга, опубликовали свои работы по изучению арифметических и геометрических прогрессий: В 1614 году шотландский математик Джон Непер опубликовал книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов». В 1620 году из-под пера швейцарского учёного Иоста Бюрги вышел труд «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Кто-то может посмеяться и сказать: «Одновременно?! Да между книгами прошло 6 лет, и Бюрги украл идею Непера!». Но во времена, когда не было интернета и международных научных симпозиумов, а информация распространялась «голубиной почтой», 6 лет — не такой большой срок. А одновременное открытие логарифмов, в странах разделённых не только расстоянием, но и языковым барьером, как раз свидетельствует о важности этого открытия. Учитывая, что Джон Непер предложил придуманный им способ вычислений называть логарифм (от греческих слов logos — «отношение» и arithmos — «число», а вместе — «число отношений»), он по праву считается отцом логарифмов. Ещё шотландский математик составил специальные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1 и с точностью до восьми знаков. С началом практического использования таблиц Непера умножение многозначных чисел и извлечение корней значительно упростилось.

Дальнейшая история логарифмов

В 1620 году Эдмунд Уингейт предложил модель логарифмической линейки, которая до изобретения калькулятора оставалась незаменимым помощником инженеров, мореплавателей и других учёных для работы с большими числами. Впоследствии многие учёные создавали свои таблицы логарифмов, уточняя их значения. Иоган Кеплер также занимался этим вопросом — известный учёный не только открыл законы движения небесных тел, но и составил астрономические таблицы, которые опубликовал в 1624 году с восторженным посвящением Джону Неперу, не зная о смерти отца логарифмов. Наиболее близко к современному определению логарифмирования подошли Валлис (1685 год) и Иоганн Бернулли (1694 год). Эйлер окончательно узаконил логарифмирование как математическое действие, обратное возведению в степень. Многие учёные в своих вычислениях стали пользоваться таблицами логарифмов, а Лаплас Пьер Симон в одном из своих трудов написал фразу, вынесённую в эпиграф статьи:

Изобретение логарифмов, сократив вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов.Лаплас Пьер Симон

Астрономами в то время называли не только любителей звёздного неба, каждый вечер настраивающих свои телескопы в поисках новых и сверхновых звёзд, а любого учёного, использующего в своих расчёетах сложные вычисления.

Расширение логарифма на комплексную область

Ещё на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли предпринимали попытки распространить логарифмы на комплексные числа, но создать целостную концепцию у них не получилось. Одна из причин ‒ это недостаточно чётко было сформулировано определение логарифма. Лейбниц и Бернулли развернули активную дискуссию на эту тему, в дальнейшем в середине XVIII века обсуждения вели между собой Д’Аламбер и Эйлер. Бернулли и Д’Аламбер доказывали, что что следует определить $\log(-x)=\log(x)$, тогда как Лейбниц показывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число. В 1747‒1751 годах Эйлер опубликовал полную теорию логарифмов отрицательных и комплексных чисел, основа которой используется до сих пор. И, несмотря на то, что Д’Аламбер пытался отстаивать свою точку зрения и аргументировал её в различных трудах, в том числе, в статье своей «Энциклопедии», подход Эйлера получил всеобщее признание к концу XVIII века. Новые открытия в изучении комплексного логарифма происходили в XIX веке, когда развивалась теория комплексного анализа и в 1811 году Гауссом была разработана полная теория многозначности логарифмической функции, определяемой как интеграл от ${\frac {1}{z}}$. И уже опираясь на известные факторы Риман построил общую теорию римановых поверхностей. Также было показано, что меркаторская проекция в картографи, которая возникла в 1550 году, её до открытия логарифма, может быть описана как комплексный логарифм, что является следствием разработки теории конформных отображений.

Основные логарифмические формулы

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу.
Пусть $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$, $c>0$, $r$ — любое действительное число. Тогда справедливы формулы.

1. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю: $log_{a}1=0$ — логарифмический ноль.
2. Логарифм любого положительного числа по основанию этого же числа равен единице: $log_{a}a=1$ — логарифмическая единица.
3. Логарифм числа обратного основанию равен −1: $log_{a}{1 \over a}=-1$.
4. $a^{log_{c}b}=b^{log_{c}a}$.
5. Для $b>0$ выполняется равенство $log_{a}b=log_{a^{r}}b^{r}$.
6. Степень логарифмируемого числа можно выносить перед логарифмом: $log_{a}b^{r}=rlog_{a}b$. Причём, если $r$ — чётное число, то $log_{a}b^{r}=rlog_{a}|b|$ для любого $x\neq 0$.
7. Степень основания выносится перед логарифмом как обратное число: $log_{a^{r}}a={1 \over r}$.
8. Степень основания выносится перед логарифмом как обратное число в случае когда выражение под логарифмом и основание имеют разные значения: $log_{a^{r}}b={1 \over r}log_{a}b$
9. Степень выражения, стоящего под знаком логарифма опускается перед логарифмом: $log_{a}{a^{m}}=m$.
10. Степень выражения, стоящего под знаком логарифма опускается перед логарифмом в случае когда выражение под логарифмом и основание имеют разные значения:$log_{a}{b^{m}}=m~log_{a}b$.
11. $log_{a^{r}}{a^{m}}={m \over r}$.
12. $log_{a^{r}}{b^{m}}={m \over r}log_{a}b$.
13. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: $log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c$.
14. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел: $log_{a}{b \over c}=log_{a}b-log_{a}c$.
    Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!
    
    Формулы перехода к новому основанию:
15. $log_{a}b={log_{c}b \over log_{c}a}$. Формула верна, если обе её части имеют смысл, то есть при $b>0,a>0$ и $a\neq 1,c>0$ и $c\neq 1$.
16. $log_{a}b={1 \over log_{b}a}$.
17. $log_{a}b~\cdot ~log_{c}d=log_{c}b~\cdot ~log_{a}d$
18. $log_{a}b~\cdot ~log_{b}a=1$.

Десятичные и натуральные логарифмы

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
В настоящее время в таблицах логарифмов берётся в основание число 10, что дает ряд вычислительных преимуществ (так как наша нумерация — десятичная). При этом для получения целых чисел приходится брать дробные степени числа 10.

• Десятичный логарифм числа — логарифм этого числа по основанию 10: $log_{10}a=lg~{a}$.

Для десятичного логарифма справедливы равенства:

1. $10^{lg~a}=a$.
2. $lg~{10^{n}}=n$.

Десятичный логарифм единицы равен нулю.
Десятичный логарифм чисел 10, 100, 1000 равен соответвенно 1, 2, 3, и т. д. то есть имеют столько положительных единиц сколько нулей стоит после единицы.
Десятичный логарифм чисел 0.1, 0.01, 0.001 равен соответвенно −1, −2, −3, и т. д. то есть имеют столько отрицательных единиц сколько нулей стоит перед единицей, считая и ноль целых.
Десятичный логарифм других чисел имеет дробную часть.

• Натуральный логарифм числа — логарифм этого числа по основанию $e\approx 2,7$, число $e$ — это иррациональное число (трансцендентная константа): $log_{e}a=ln~a$.

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада радиоактивного вещества. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения различных задач, например, нахождение сложных процентов.

Логарифмическая функция

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, то получится функция вида $y=log_{a}x$, где $a$ — заданное число, $a>0$, $a\neq 1$, $x>0$, которая называется логарифмической функцией с основанием $a$.

Свойства логарифмической функции:

Логарифмическая функция при $a>1$

1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел, то есть $x\in (0;+\infty )$, что следует из определения логарифмической функции.
2. Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел, то есть $y\in R$.
3. Функция неограниченная, так как $y\in R$.
4. Функция возрастающая в случае, если $a>1$, и убывающая в случае, если $0<a<1$.
5. Нули функции: $x=1$ (так как $log_{a}1=0$).
6. Промежутки знакопостоянства: $(0;1)$ и $(1;+\infty )$.

Логарифмическая функция: синяя при $0<a<1$, красная и зелёная при $a>1$

• Если $a>0$, то функция принимает положительные значение при $x>1$, отрицательные при $0<x<1$.
• Если $0<a<1$, функция принимает положительные значение при $0<x<1$, отрицательные при $x>1$.

Обрати Внимание!

Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; не ограничена сверху, не ограничена снизу; график логарифмической функции $y=log_{a}x$ проходит через точку $(1;0)$.

Ссылки

• Российская электронная школа