Многочлен

График многочлена 7-й степени $y=x^{7}-14x^{5}+49x^{3}-36x$

Многочле́н (или полино́м, от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») — фундаментальное понятие в алгебре и математическом анализе. В простейшем случае многочленом называется функция вида P(x) = c₀ + c₁x¹ + c₂x² + ... + cₙxⁿ, где cᵢ — фиксированные коэффициенты, причём cₙ ≠ 0. Максимальная степень n среди слагаемых-одночленов называется степенью многочлена.

Описание

Многочлены представляют собой алгебраические выражения, состоящие из суммы одночленов различных степеней. Каждый одночлен включает коэффициент и переменную, возведённую в неотрицательную целую степень. Общий вид многочлена от одной переменной x: P(x) = c₀ + c₁x¹ + c₂x² + ... + cₙxⁿ, где cᵢ — числовые коэффициенты, а n — степень многочлена.

Многочлены могут содержать одну или несколько переменных. Например, x² + 11xy - 3x + 82y + 1 — многочлен от двух переменных (x, y) второй степени. Коэффициент при члене высшей степени называется старшим коэффициентом. Свободный член — это константа, не содержащая переменных.

Особые типы многочленов включают:

1. Линейный двучлен (бином): P(x) = c₀ + c₁x.
2. Квадратный трёхчлен: P(x) = c₀ + c₁x + c₂x².
3. Кубический многочлен (третьей степени).

Многочлены обладают важными алгебраическими свойствами. Их можно складывать, вычитать, умножать и, в некоторых случаях, делить. Степень суммы или разности многочленов не превышает наибольшую из степеней слагаемых, а степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Многочлены широко применяются в различных областях математики и её приложениях, включая алгебраическую геометрию, теорию чисел и математический анализ. Они служат основой для изучения алгебраических уравнений и функций.

Многочлены от одной переменной

• Графики многочленов разной степени
• 

  Многочлен 1-й степени
  f(x) = 2x + 1

• 

  Многочлен 2-й степени
  f(x) = x² − x − 2
  = (x + 1)(x − 2)

• 

  Многочлен 3-й степени
  f(x) = Шаблон:Sfrac + Шаблон:Sfrac − Шаблон:Sfrac − 2
  = Шаблон:Sfrac (x + 4)(x + 1)(x − 2)

Основные понятия

Многочлен от одной переменной — это алгебраическое выражение вида P(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + ... + cₙxⁿ, где x — переменная, cᵢ — числовые коэффициенты, а n — неотрицательное целое число. Степень многочлена определяется наивысшей степенью переменной x с ненулевым коэффициентом.

Структура многочлена:

1. Одночлены: каждое слагаемое cᵢxⁱ называется одночленом.
2. Старший коэффициент: cₙ при xⁿ, где n — степень многочлена.
3. Свободный член: c₀, не содержащий переменной x.

Классификация многочленов по степени:

• Нулевой многочлен: P(x) = 0, степень не определена.
• Константа: P(x) = c, где c ≠ 0, степень 0.
• Линейный многочлен: P(x) = ax + b, степень 1.
• Квадратный многочлен: P(x) = ax² + bx + c, степень 2.
• Кубический многочлен: P(x) = ax³ + bx² + cx + d, степень 3.

Приведённый многочлен имеет старший коэффициент, равный 1. Например, x³ - 2x² + 4x - 7.

Свойства многочленов:

1. Сложение: (P + Q)(x) = P(x) + Q(x).
2. Умножение: (PQ)(x) = P(x)Q(x).
3. Степень суммы ≤ max(deg P, deg Q).
4. Степень произведения = deg P + deg Q.

Многочлены образуют кольцо над полем коэффициентов, обладающее свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Деление многочленов

Деление многочленов — это операция нахождения частного Q(x) и остатка R(x) при делении многочлена P(x) на делитель D(x).

Алгоритм деления:

1. Разделить старший член P(x) на старший член D(x).
2. Умножить результат на D(x) и вычесть из P(x).
3. Повторять шаги 1–2 для полученной разности, пока её степень не станет меньше степени D(x).

Теорема о делении с остатком: для любых многочленов P(x) и D(x) ≠ 0 существуют единственные многочлены Q(x) и R(x) такие, что P(x) = D(x)Q(x) + R(x), где степень R(x) < степень D(x).

Свойства деления многочленов:

1. Если P(x) делится на D(x), то R(x) = 0.
2. Степень частного = степень делимого — степень делителя.
3. Остаток при делении на (x - a) равен значению многочлена P(a) (теорема Безу).

Алгоритм Евклида для многочленов:

1. Разделить P(x) на D(x) с остатком: P(x) = D(x)Q₁(x) + R₁(x).
2. Если R₁(x) = 0, то D(x) — НОД.
3. Иначе повторить деление D(x) на R₁(x).
4. Продолжать процесс до получения нулевого остатка.

Последний ненулевой остаток — наибольший общий делитель (НОД) многочленов P(x) и D(x).

Применение деления многочленов:

• Разложение на множители.
• Нахождение корней многочленов.
• Решение алгебраических уравнений.
• Вычисление значений многочленов (схема Горнера).

Деление с остатком

Деление многочлена P(x) на ненулевой многочлен D(x) с остатком — это представление P(x) в виде:

P(x) = D(x)Q(x) + R(x)

где Q(x) — частное, R(x) — остаток, причём степень R(x) меньше степени D(x).

Алгоритм деления с остатком:

1. Разделить старший член P(x) на старший член D(x).
2. Умножить полученный одночлен на D(x) и вычесть результат из P(x).
3. Повторять шаги 1–2 для полученной разности, пока её степень не станет меньше степени D(x).

Теорема Безу: остаток от деления многочлена P(x) на (x - a) равен P(a). Это свойство используется для проверки, является ли число a корнем многочлена P(x).

Пример: при делении x³ + 2x² - x - 2 на x - 1 получаем: x³ + 2x² - x - 2 = (x - 1)(x² + 3x + 2) + 0 Остаток равен нулю, значит, x - 1 является делителем данного многочлена.

Корни многочлена

Корень многочлена P(x) — это значение x, при котором P(x) = 0. Нахождение корней — ключевая задача в теории многочленов.

Свойства корней:

1. Число корней многочлена степени n не превышает n (с учётом кратности).
2. Если a — корень P(x), то (x - a) является делителем P(x).
3. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами всегда образуют сопряжённые пары.

Методы нахождения корней:

1. Рациональные корни: если p/q — корень многочлена с целыми коэффициентами, то p делит свободный член, а q делит старший коэффициент.
2. Теорема Виета: связывает коэффициенты многочлена с элементарными симметрическими функциями его корней.
3. Численные методы: метод Ньютона, метод половинного деления.

Основная теорема алгебры: любой многочлен степени n ≥ 1 с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учётом кратности.

Кратность корня: если (x - a)^k делит P(x), но (x - a)^(k+1) не делит, то a — корень кратности k.

Пример: x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) Корни: 1, 2, 3 (все простые).

Приводимость и каноническое разложение многочлена

Многочлен называется приводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени. В противном случае он называется неприводимым.

Каноническое разложение многочлена — это представление в виде произведения неприводимых множителей:

P(x) = a(x - r₁)^m₁(x - r₂)^m₂...(x - rₖ)^mₖ

где a — константа, rᵢ — различные корни, mᵢ — их кратности.

Свойства:

1. Разложение единственно с точностью до порядка множителей.
2. Степень многочлена равна сумме кратностей всех корней.
3. Неприводимые многочлены над полем вещественных чисел имеют степень 1 или 2.

Пример: x⁴ - 1 = (x - 1)(x + 1)(x² + 1) Здесь (x² + 1) неприводим над вещественными числами.

Многочлены от нескольких переменных

Многочлен от нескольких переменных {x₁, x₂, ..., xₙ} — это конечная сумма одночленов вида ax₁ᵏ¹x₂ᵏ²...xₙᵏⁿ, где a — коэффициент, а k₁, k₂, ..., kₙ — неотрицательные целые числа. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных.

Пример: P(x, y) = 3x²y + 2xy³ - 5x + 7y - 1

Степень многочлена определяется как наибольшая степень входящих в него одночленов. В приведённом примере степень многочлена равна 4.

Однородный многочлен — это многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень. Например, x² + xy + y² — однородный многочлен второй степени.

Свойства многочленов от нескольких переменных:

1. Коммутативность сложения и умножения.
2. Ассоциативность сложения и умножения.
3. Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Лексикографический порядок используется для упорядочивания членов многочлена. При этом сначала сравниваются степени по первой переменной, затем по второй и так далее.

Многочлены от нескольких переменных образуют кольцо R[x₁, x₂, ..., xₙ], где R — кольцо коэффициентов. Это кольцо обладает свойством факториальности, то есть каждый многочлен однозначно (с точностью до порядка и умножения на обратимые элементы) раскладывается в произведение неприводимых множителей.

Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если бесконечная система многочленов от n переменных не имеет общих корней, то существует конечная подсистема, также не имеющая общих корней.

Изучение и применение

Графики многочленов Бернулли

Изучение многочленов играет ключевую роль в различных областях математики и её приложениях. Теория многочленов тесно связана с алгебраической геометрией, теорией чисел и математическим анализом.

Основные направления изучения многочленов:

1. Решение полиномиальных уравнений.
2. Исследование свойств корней многочленов.
3. Аппроксимация функций многочленами.
4. Изучение алгебраических многообразий.

Теорема Вейерштрасса утверждает, что любую непрерывную функцию на отрезке можно с произвольной точностью приблизить многочленом. Это свойство широко используется в численных методах и теории приближений.

Многочлены применяются в:

1. Криптографии: создание и анализ криптосистем.
2. Теории кодирования: построение кодов, исправляющих ошибки.
3. Цифровой обработке сигналов: фильтрация и анализ сигналов.
4. Компьютерной графике: моделирование кривых и поверхностей.
5. Теории управления: анализ и синтез систем управления.

Алгебраическая геометрия изучает множества решений систем полиномиальных уравнений. Эта область находит применение в теоретической физике и теории струн.

Многочлены Бернштейна используются в компьютерной графике для определения кривых Безье, широко применяемых в векторной графике и анимации.

В теории чисел многочлены используются для изучения алгебраических чисел и построения конечных полей, что имеет важное значение в криптографии и теории кодирования.

Вариации и обобщения

Кольцо многочленов

Кольцо многочленов R[x] над коммутативным кольцом R — это алгебраическая структура, состоящая из многочленов с коэффициентами из R. Элементы R[x] имеют вид a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ, где aᵢ ∈ R, n ∈ ℕ₀.

Операции в R[x]:

1. Сложение: (a₀ + a₁x + ... + aₙxⁿ) + (b₀ + b₁x + ... + bₘxᵐ) = c₀ + c₁x + ... + cₖxᵏ, где cᵢ = aᵢ + bᵢ, k = max(n, m).
2. Умножение: (a₀ + a₁x)(b₀ + b₁x) = a₀b₀ + (a₀b₁ + a₁b₀)x + a₁b₁x².

Свойства R[x]:

• Коммутативность сложения и умножения.
• Ассоциативность сложения и умножения.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения.
• Наличие нулевого элемента (нуль-многочлен) и единичного элемента (многочлен 1).

R[x] является областью целостности, если R — область целостности. В этом случае степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Идеалы в R[x]:

1. Главный идеал (f(x)) — множество многочленов, делящихся на f(x).
2. Если R — поле, то R[x] — кольцо главных идеалов.

Факториальность: если R — факториальное кольцо, то R[x] также факториально. Это означает, что каждый ненулевой многочлен однозначно (с точностью до ассоциированности) разлагается в произведение неприводимых многочленов.

Теорема Гильберта о базисе: если R — нётерово кольцо, то R[x₁, ..., xₙ] также нётерово. Следствие: любой идеал в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем конечно порождён.

Расширения кольца многочленов:

1. R[x₁, ..., xₙ] — кольцо многочленов от n переменных.
2. R((x)) — кольцо формальных степенных рядов.
3. R(x) — поле рациональных функций (если R — поле).

Гомоморфизмы колец многочленов определяются значениями на образующих. Например, для φ: R[x] → S достаточно задать φ(r) для r ∈ R и φ(x).

Полиномиальная функция

Полиномиальная функция — это функция f: R → R, заданная многочленом P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ, где R — кольцо (чаще всего поле) и aᵢ ∈ R.

Свойства полиномиальных функций:

1. Непрерывность на всей области определения.
2. Бесконечная дифференцируемость.
3. Аналитичность (разложимость в ряд Тейлора).

Нули полиномиальной функции совпадают с корнями соответствующего многочлена. Над полем комплексных чисел каждая ненулевая полиномиальная функция имеет ровно n комплексных корней (с учётом кратности), где n — степень многочлена.

Теорема об алгебраической замкнутости: любая ненулевая полиномиальная функция над алгебраически замкнутым полем имеет хотя бы один корень в этом поле.

Интерполяция: для любых n+1 различных точек (xᵢ, yᵢ) существует единственный многочлен степени не выше n, график которого проходит через эти точки (интерполяционный многочлен Лагранжа).