Умножение

Умножение 5 яблок на 3, как и умножение 3 яблок на 5, даёт 15 яблок

Умножение — одна из основных математических операций над двумя аргументами, исторически определённое как многократное сложение. Аргументы называются сомножителями, каждый из них — множитель, иногда — множимое и множитель. Результат умножения назвается произведением.

Терминология и запись

Операция умножения сопоставляет два соможителя, $a$ и $b$ для выяснения третьего объекта $c$, называемого произведением. Обозначается при записи умножение специальным знаком в нескольких вариациях. В 1631 году английский математик Уильям Отред ввёл в обращение знак умножения (×), не имеющий специального названия и именуемый просто «знак умножения». Основан этот знак был на Андреевском кресте. Полвека спустя, в 1698 году, немецкий математик Вильям Лейбниц использовал для записи умножения точку, приподнятую в центр строки (⋅), чтобы не путать знак умножения с буквой $x$. Оба этих знака используются и по сей день примерно равнозначно, при этом для записи умножения буквенных множителей знаки часто опускаются и два множителя просто пишутся слитно $ab$; в случае если один из множителей число, а другой — буквенный, это также справедливо и записывается как $2a$.

Исторически для записи умножения также использовались обозначения: in (Франсуа Виет, XVI век), символ прямоугольника в начале произведения и запятая в конце (Пьер Эригон, 1634 год) и звёздочка (*) (Иоганн Ранн, 1659 год). Последняя с появлением компьютеров стала использоваться для записи умножения наряду со знаком ⊗, используемым для обозначения умножения с плавающей запятой.

Выполнение

Умножение натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется как многократное сложение числа $a$, взятого $b$ раз: $a\cdot b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b}.$. Умножение рациональных чисел, представляемых в виде дробей производится групповым перемножением делимых и делителей этих дробей с образованием дроби-множителя, к которой в случае если один множитель имел знак минус, а другой — нет, ставится знак минус. Иррациональные числа перемножаются путём перемножения их рациональных приближений. Комплексные числа перемножаются по формуле: $c+fi=(a+di)\cdot (b+ei)=(a\cdot b-d\cdot e)+(a\cdot e+b\cdot d)i,$, где $i$ — мнимая единица, остальные числа вещественные.

Для умножения натуральных чисел также существует графическое представление в виде рядов предметов, где первый множитель является количеством предметов в каждом ряду, а второй — количеством рядов. Общее число предметов в данном случае будет произведением. В учебных программах при изучении умножения используется таблица Пифагора, представляющая из себя таблицу из 9 столбцов и 9 колонок, представляющую перемножение всех однозначных целых чисел в любой комбинации. Таблица заучивается и в дальнейшем при умножении более сложных чисел они раскладываются на элементы таблицы Пифагора. Аналогичные таблицы существуют для всех систем счисления помимо десятиричной, в учебных программах по информатике рассматриваются таблицы для двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления.

Умножение в микроэлектронике (калькуляторах, компьютерах) чаще всего выполняется через двоичную систему счисления и делается методом сдвига и сложения. Множители при этом разделяются на информационные и знаковые разряды, которые обрабатываются раздельно. Знаковый разряд, имеющий два возможных значения, из которых 0 обозначает положительное число, а 1 — отрицательное, суммируются с проверкой младшего разряда, где в итоге получается снова либо 0 либо 1). Умножение информационной части числа происходит последовательноым умножением множимого на ненулевые разряды множителя и последующим сложением произведений. По сути произведение двух чисел в электронике — это могократное сложение множимого, сдвинутого на все ненулевые разряды множителя. Гораздо реже умножение в компьютерах происходит без разделения на разряды, в таком случае при каждой операции умножения множимого на разряды множителя происходит операция корректировки, заменяющая сложение на вычитание, если старший, знаковый разряд множителя равен 1.

Свойства

Умножение коммутативно, то есть $ab=ba$ — от перемены мест множителей произведение остаётся неизменным. Также ему присуще свойство ассоциативности, то есть $a(bc)=(ab)c$ — если множителей много, перемножать их можно в любом порядке, произведение останется неизменным. Ещё одно свойство — дистрибутивность, то есть $a(b+c)=ab+ac$ — при умножении суммы слагаемых, операцию можно выразить как сумму произведений каждого отдельного слагаемого и множителя.

Произведение любого числа и нуля всегда равно нулю, произведение любого числа и единицы всегда равно этому числу.

Литература

• Умножение // Уланд — Хватцев. — М. : Большая российская энциклопедия, 2017. — С. 32—33. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 33). — ISBN 978-5-85270-370-5.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. — N. Y.: Cosimo Inc., 2007. — Vol. 1 (1929 reprint). — XVI + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
• Глава 2.9.3. Арифметические операции в позиционных системах счисления. Умножение // Учебник по информатике (курс лекций) (рус.) / Ивановский химико-технологический университет. — Иваново, 2010.