Линейная алгебра

Материал из «Знание.Вики»
Наука
Математика
Тема Линейная алгебра
Предмет изучения векторные пространства и их подпространства, линейные отображения, линейные, билинейные и квадратичные функции
Основные направления математика
Вспомогат. дисциплины алгебра, геометрия, математический анализ, тригонометрия

Линейная алгебра — один из разделов алгебры, рассматривающий векторные (линейные) пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах. Главные инструменты линейной алгебры – матрицы, детерминанты и двойственные пространства[1].

История[править]

Древние цивилизации Вавилона и Египта, Греции[править]

В «Арифметике» Диофанта (III век нашей эры) были обобщены:

  • арифметические действия над множествами целых и рациональных неотрицательных чисел;
  • в расчетах по геометрии и астрономии введено использование алгебраических формул;
  • сформулированы задачи на построение/удвоение куба и трисекции угла[2].

Восточная цивилизация средних веков[править]

В сочинение Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джебры и аль-мукабалы» (примерно 825 год) посвящено ре­шению уравнений 1-й и 2-й сте­пе­ней и термин «алгебра» впер­вые рас­смат­ри­ва­ет­ся как са­мо­сто­ятельный раздел ма­те­ма­ти­ки[3].

Эпоха Возрождения, XV—XVI века[править]

С. Дель Ферро, Н. Тарталья, Д. Кардано, Л. Феррари, Ф. Виет, Р. Бомбелли внесли вклад в решение общих алгебраических уравнений третьей и четвертой степени.

Была разработана современная алгебраическая символика, символическое обозначение коэффициентов и неизвестных в алгебраических выражениях, сформулирована основная теорема алгебры, согласно которой уравнение имеет столько корней, какова его степень[2].

XVII—XVIII века[править]

Р. Декарт, П. Ферма, И. Ньютон, Г. Лейбниц, Л. Эйлер, Ж. Даламбер, Ж.-Л. Лагранж, Г. Крамер, П. Лаплас, А-Т. Вандермонд внесли вклад в:

  • зарождение аналитической геометрии;
  • развитие теории чисел;
  • расширение теории алгебры многочленов;
  • поиски общих формул для решения алгебраических уравнений;
  • первые подходы к доказательству существования корня уравнения с числовыми коэффициентами;
  • появление теории определителей[2].

XIX-начало XX века[править]

К. Гаусс, П. Дирихле, Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. Золотарев, Г. Вороной, А. Марков:

  • была доказана основная теорема о существовании корней уравнений с целыми коэффициентами;
  • получила интенсивное развитие теория алгебраических чисел[2].

П. Чебышёв, Ш. Эрмит, Н. Лобачевский, А. Гурвиц занимались:

  • поиском методов приближенного решения алгебраических уравнений;
  • определения условий коэффициентов, обеспечивающие заданное расположение корней[2].

П. Руффини, Н. Абель, К. Якоби, Э. Галуа, Б. Риман, О-Л. Коши, М. Жордан, П. Силов, работы которых посвящены:

  • решению проблемы о неразрешимости общих уравнений степени, больших пяти в радикалах;
  • развитию теории алгебраических функций;
  • началам теории конечных групп, преимущественно на базе групп перестановок[2].

Г. Грассман, Д. Сильвестр, А. Кэли, Р. Гамильтон, Д. Буль, М. Ли, Ф. Фробениус, Ж. Серре, А. Нётер, Д. Граве, Ж. Пуанкаре, Ф. Клейн, У. Бёрнсайд, Ф. Молин, И. Шур, Г. Вейль, А. Энриквес занимались:

  • активным развитием методов линейной алгебры;
  • были открыты кватернионы;
  • создана теория алгебр и групп Ли;
  • алгебраической геометрией и теорией инвариантов[2].

Работы Д. Нейман, Д. Гильберт, Э. Картан, К. Гензель, Э. Штейниц, Э. Нётер, Э. Артин, Н. Бурбаки привели к

  • полной перестройки всего здания математики;
  • к переходу алгебры на более абстрактный и аксиоматический путь развития[2].

Начало-середина XX века[править]

Н. Чеботарёв, О. Шмидт, А. Мальцев, А. Курош, С. Новиков, Л. Фаддеев и другие советские математике внесли свой вклад в ведение в обиход языка теории колец, модулей, категорий, гомологий. Многие разрозненные теории оказались уложены в общую схему универсальной алгебры, при этом на стыке алгебры и математической логики родилась теория моделей, получили яркие взлеты теории конечных групп[2].

Элементы линейной алгебры[править]

Матрицы и определители[править]

Матрица

Матрица — это прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов.

Виды матриц:

  1. Квадратная матрица:
    • диагональная,
    • единичная,
    • нулевой,
    • верхняя треугольная,
    • нижняя треугольная.
  2. Вектор:
    • вектор-столбец,
    • вектор-строка[4].

Линейное пространство[править]

Линейное пространство

Множество векторов L с определенными на на нём операциями сложения векторов и умножения векторов на числа из поля K, не выводящие сумму векторов и произведение вектора на

число из множества L, называется линейным пространством, если справедливы следующие свойства:

I. задано правило сложения, ставящее в соответствие любым двум элементам a, b из V единственный элемент c из V , называемый суммой и обозначаемый c = a + b;

II. задано правило умножения на число, ставящее в соответствие каждому a из V и каждому α из F единственный элемент d из V , обозначаемый d = α · a или d = a · α; знак операции «·» часто опускают;

III. выполняются аксиомы линейного пространства[5].

Системы линейных уравнений[править]

Алгебраической линейной системой m уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:

, где aij — коэффициенты системы; bi — свободные члены; xj — неизвестные значения[4]

Евклидовы пространства[править]

Векторное пространство V вместе с заданным на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством[6]

Линейные операторы[править]

Если каждому вектору х из множества L по некоторому правилу (закону) поставлен в соответствие некоторый вектор y из множества M , то говорят, что на линейном пространстве L задан оператор Ā со значениями в пространстве M[7] .

Билинейные и квадратичные формы[править]

Билинейной функцией (или билинейной формой) на векторном пространстве V называется отображение α: V × V → K, линейное по каждому из двух своих аргументов.

Квадратичной функцией на векторном пространстве V называется функция q : V → K, для которой существует билинейная функция α: V × V → K такая, что q(v) = α(v, v) ∀ v ∈ V[8]

Примечания[править]

  1. Линейная алгебра. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 31 октября 2023.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 Кострикин А. И. Введение в алгебру. — Москва: Наука, 1977. — С. 17—19. — 497 с.
  3. Большая российская энциклопедия. Хорезми́ Абу Абдалла Мухаммед Бен Муса Аль-Маджуси. Дата обращения: 18 ноября 2023.
  4. 4,0 4,1 Гредасова Н.В., Корешникова М.А., Желонкина [и др.] Линейная алгебра. Издательство Уральского университета. Дата обращения: 18 ноября 2023.
  5. Шерстнёва А.И. Линейные пространства. Линейные операторы. Издательство Томского политехнического факультета. Дата обращения: 18 ноября 2023.
  6. Тронин С.Н. Евклидовы и унитарные пространства Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Казанский (Приволжский) федеральный университет. Дата обращения: 18 ноября 2023.
  7. Карнаков В.А. Лекции по линейной алгебре. Иркутский государственный университет. Дата обращения: 18 ноября 2023.
  8. Ершов А.В. ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ. Дата обращения: 18 ноября 2023.