Арифметика
| Наука | |
| Математика | |
|---|---|
 | |
| Тема | Арифме́тика |
| Предмет изучения | свойства чисел и действий над ними |
| Период зарождения | III—II век до нашей эры |
| Основные направления |
математика |
| Вспомогат. дисциплины | алгебра, геометрия, математический анализ, тригонометрия, логистика |
| Значительные учёные | Пьер Ферма́, Леона́рд Э́йлер, Карл Фри́дрих Га́усс, Джузе́ппе Пеа́но, Герхард Генцен |
Арифме́тика (греч. arithmetika, от arithmys — число) — раздел математики, занимающийся изучением простейших свойств чисел и производимых над ними действий[1]. В первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях[2].
Основные сведения
Основным предметом арифметики является понятие числа, история возникновения и разновидности чисел: натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа, его свойства. Арифметика включает измерения, операции с числами: сложение, вычитание, умножение, деление и приёмы применяемые при вычислениях.
АРИФМЕ́ТИКА, -и, ж.
1. Раздел математики, изучающий простейшие свойства чисел, выраженных цифрами, и действия над ними.
2. перен. То же, что подсчет (во 2 знач.) (разг.). Проверили расходы неутешительная получилась а.С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова Толковый словарь русского языка
Высшая арифметика или теория чисел изучает свойства отдельных целых чисел. Теоретическая арифметика изучает понятие числа, его определение и анализ, формальная арифметика — логические построения предикатов, аксиом. Высшая арифметика — элементарная теория чисел. Теория чисел использует аналитические, алгебраические, геометрические и другие методы для выполнения арифметических действий и исследования более широких классов чисел, например алгебраических и трансцендентных[2].
Главный первый вопрос элементарной арифметики — запись чисел. Наибольшее распространение получила так называемая позиционная десятичная система записи натуральных (то есть целых положительных) чисел. Для записи натуральных чисел используются десять знаков — цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. При этом имеет значение место (позиция) цифры в ряду других цифр, записывающих число[2].
К нерешённым проблемным вопросам арифметики относятся:
- проблема близнецов — утверждение о бесконечности множества пар простых чисел, разность которых равна двум;
- проблема Гольдбаха о представимости каждого чётного числа в виде суммы двух простых чисел;
- вопросы существования быстрых алгоритмов для вычисления индексов (дискретных логарифмов) по простому модулю[3].
История
Арифметика возникла и развивалась в странах Древнего Востока: в Египте математические папирусы, относящиеся к периоду Среднего царства (около XXI—XVIII веков до н. э.) содержали арифметические задачи прикладного характера.
Папирус Ринда, изучен и издан в 1877 году на немецком языке. Назван папирус по имени его владельца, египтолога А. Г. Ринда, второе название: папирус Ахмеса — по имени его составителя — писца Ахмеса (около 2000 лет до н.э.)
Московский папирус, который изучался египтологами Б. А. Тураевым в 1917 году и В. В. Струве в 1927 году и был издан на немецком языке в 1930 году[4].
В Вавилоне: Клинописные математические тексты, которые относятся ко второму тысячелетию до н. э. Среди них есть математические таблицы умножения, обратных величин, квадратов, кубов и другие, всего известно более 100 клинописных математических текстов[5].
В Китае способы приближённого извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел были известны уже во 2-1 веках до н. э.[6].
В Индии широкое употребление современной десятичной системы счисления и использование нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда введено в V—XII веках н. э.[6].
В Древней Греции: практические потребности хозяйственной деятельности, торговли, а так же задачи, связанные с измерением расстояний, времени, площадей и с астрономическими расчётами, послужили толчком к развитию арифметики. Большой вклад в развитие арифметики внесли философы-пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора), которые пытались с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.
Древние греки делали различие между теоретической наукой Арифметикой и искусством выполнения вычислений — логистикой. Примерно с начала XVI века название Арифметика стало применяться к обеим дисциплинам. Позже арифметикой стали называть школьный предмет, посвящённый свойствам целых и рациональных чисел и правилам выполнения арифметических операций над ними: сложения, вычитания, умножения и деления.
В России:
слово арифметика стали использовать после появления первого русского печатного учебника математики в 1703 году. Арифметика Л. Ф. Магницкого содержит следующее определение: «Арифметика или числительница — есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное, и изложенное». В этом руководстве вместе с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в том числе и десятичными) и соответствующими задачами есть не только элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, но и целый ряд практических сведений, относящихся к коммерческим расчётам и задачам навигации[2].
Первые книги, посвящённые арифметике
Западная Европа
Сочинения Боэция (VI век, перевод на латинский язык Арифметики Никомаха (1-я половина II века нашей эры) с собственными числовыми примерами и части Начал Евклида без строгих доказательств)[7].
Книга абака (Леонардо Пизанский (Фибоначчи), 1202 год)[8].
Полная арифметика (М. Штифель, первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году. В книге немецкого математика (начало XVI века) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования)[9].
Россия
Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий зело удобно изыскати может, число всякие вещи (В 1682 году в Москве была напечатана первая книга математического содержания)[10].
Краткое и полезное руковедение в аритметыку, или во обучение и познание всякого счѐту в сочетании всяких вещей (В 1699 году в Амстердаме вышла книга — первый учебник арифметики на русском языке. Книга была составлена Ильѐй Фѐдоровичем Копиевичем (или Копиевским) по заказу архангельских купцов. Она не удовлетворила заказчиков и распространения не получила)[11].
Арифметика (В России первый учебник арифметики Л. Ф. Магницкого был напечатан в 1703 году)[12].
Ученые
Основоположники современной арифметики
Современный вид арифметика приобрела благодаря трудам:
Пьера Ферма́ — один из создателей теории чисел, где с его именем связаны Великая теорема Ферма и Малая теорема Ферма)[13].
Леона́рда Э́йлера — Универсальная арифметика (т. 1-2, 1768-1769), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках)[14].
Карла Фри́дриха Га́усса — Арифметические исследования (лат. Disquisitiones Arithmeticae), напечатана только в 1801 году. Первое крупное сочинение Гаусса по теории чисел и высшей существенным образом предопределило дальнейшее развитие этих разделов математики)[15].
Джузе́ппе Пеа́но — предложил в 1891 году аксиоматику натурального ряда, которая сейчас называется системой аксиом Пеано[16].
Герхарда Генцена — непротиворечивость формального построения арифметики была показана в 1936 году[17].
Российские и советские ученые
Российские ученые, занимающиеся развитием арифметики и теории чисел:
- Михаил Васильевич Остроградский — академик пяти мировых академий. Занимался теорией чисел[18].
- Виктор Яковлевич Буняковский — автор фундаментального труда Основания математической теории вероятностей[19].
- Пафнутий Львович Чебышев — существенно продвинул вперёд изучение вопроса о распределении простых чисел[20].
- Андрей Андреевич Марков — вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел[21].
.jpg)
Советские ученые, занимающиеся развитием арифметики и теории чисел
- И. М. Виноградов[22] внес определяющий вклад в решение проблемы Варинга[23].
- Л. Г. Шнирельман и И. М. Виноградов в 1930-е годы далеко продвинули решение проблемы Гольдбаха. В 1945 году еще одно доказательство проблемы Гольдбаха представил Ю. В. Линник[24].
- А. О. Гельфонд решил 7-ю проблему Гильберта[25]: всякое алгебраическое число, отличное от 0 и 1, будучи возведено в иррациональную степень, дает трансцендентное число[26].
- И. Р. Шафаревич доказал общий закон взаимности степенных вычетов[27].
- С. Н. Бернштейн[28] решил 19-ю проблему Гильберта[25].
- В. И. Арнольд[29] решил тринадцатую проблему Гильберта[25].
- Десятую проблему Гильберта[25] решил Ю. В. Матиясевич[30].
- Г. Я. Перельман доказал гипотезу Пуанкаре[31].
И. М. Виноградов
Л. Г. Шнирельман
И. Р. Шафаревич
Л. С. Понтрягин
В. И. Арнольд
Ю. В. Матиясевич
- Neural G.Perelman 02.png
Г. Я. Перельман
Пословицы и поговорки об арифметике
- Арифметика — царица математики, математика — царица всех наук.
- В бинарной системе счет ведут не по пальцам, а по кулакам.
- Счёт дружбы не портит.
- Будет проще жить, если будешь друзей умножать и радость делить.
- Знаешь счет, так и сам сочтешь.
- Деньгам — счет, а хлебу — мера.
- Без счёту и денег нету.
- Счёт всю правду скажет.
- Не выучил таблицу умножения - не будет тебе в жизни продвижения.
- Семь раз отмерь, один раз отрежь!
- Счёт с оттяжкой, а метр с натяжкой.
- Господь сотворил целые числа; остальное — дело рук человека.
- Господь сотворил целые числа; остальное — дело рук человека.
- Деньги счет любят.
- Деньги не щепки, счетом крепки[32].
Литература
- Эйлер Л. Универсальная арифметика г. Леонгарда Эйлера. Переведенная с немецкого подлинника студентами Петром Иноходцовым и Иваном Юдиным. Том 1, содержащий в себе все образы алгебраического вычисления. — СПб.: Императорская Академия Наук, 1768. — 8, 376 c.
- Магницкий Л. Ф. Арифметика, сиречь наука числительная. — Москва, Печатный двор, 1703, 326 с.
- Галанин Д. Д. Леонтий Филиппович Магницкий и его Арифметика. — М.: Тип. О. Л. Сомовой, 1914. — 143 с.
- Гаусс Карл Фридрих. Труды по теории чисел / общая ред. акад. И. М. Виноградова; коммент. чл.-кор. АН СССР Б. Н. Делоне; перевод канд. физ.-мат. наук В. Б. Демьянова (Классики науки/ Акад. наук СССР). — Москва: Издательство Академии наук СССР, 1959. — 978 с.; .
- История математики: в 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени, 1970 г.
- Каменева Т. Н. К истории создания «Арифметики» Магницкого // Книга: исследования и материалы. — М., 1984. — 213 с.
Примечания
- ↑ Арифметика. Фундаментальная электронная библиотека. Дата обращения: 28 августа 2023.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Арифметика. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 3 сентября 2023.
- ↑ Куприянова Т. Г. Новые сведения по истории «Арифметики» Л. Магницкого. — М.,: Наука, 1988. — С. 28. — 280 с. — ISBN 5-02-012640-3.
- ↑ Папирусы математические. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 3 сентября 2023.
- ↑ Клинописные математические тексты. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 4 сентября 2023.
- ↑ 6,0 6,1 Матема́тика. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 4 сентября 2023.
- ↑ Юшкевич А.П. История математики. — М.,: Наука, 1970. — С. 254—256. — 300 с.
- ↑ Фибоначчи. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 1 сентября 2023.
- ↑ Синкевич Г. И. Штифель, Михаэль. История понятия числа и непрерывности в математическом анализе XVII—XIX вв. —. Математическое образование. Дата обращения: 1 сентября 2023.
- ↑ Депман И. Я. История арифметики. — М.,: Просвещение, 1965. — С. 5—15. — 416 с.
- ↑ История арифметики. Энциклопедия Руниверсалис. Дата обращения: 1 сентября 2023.
- ↑ Денисов А. П. Леонтий Филиппович Магницкий. — М.,: Просвещение, 1967. — С. 76—130. — 144 с.
- ↑ Ферма Пьер. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 30 августа 2023.
- ↑ Эйлер Леонард. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 30 августа 2023.
- ↑ Гаусс Карл Фридрих. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 2023-09-03.
- ↑ Пеано Джузеппе. Большая Российская энциклопедия. Дата обращения: 30 августа 2023.
- ↑ Непротиворечивость. Большая Российская энциклопедия. Дата обращения: 30 августа 2023.
- ↑ Остроградский Михаил Васильевич. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 3 сентября 2023.
- ↑ Буняковский Виктор Яковлевич. Большая Российская энциклопедия. Дата обращения: 2 сентября 2023.
- ↑ Чебышёв Пафнутий Львович. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 2 сентября 2023.
- ↑ Марков Андрей Андреевич (старший). Большая Российская энциклопедия. Дата обращения: 2 сентября 2023.
- ↑ Виногра́дов Иван Матвеевич. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ Ва́ринга Пробле́ма. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ Проблема Гольдбаха. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ 25,0 25,1 25,2 25,3 Гильберт Давид. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ Трансценде́нтное число́. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ Шафаре́вич Игорь Ростиславович. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ Бернште́йн Сергей Натанович. Большая российская энциклопедия 2004–2017 (5 сентября 2023).
- ↑ Арно́льд Владимир Игоревич. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ Матиясе́вич Юрий Владимирович. Большая российская энциклопедия 2004–2017. Дата обращения: 5 сентября 2023.
- ↑ Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года. — М.,: Наука, 1968. — С. 306—312. — 592 с.
- ↑ Пословицы про арифметику. poslovic.ru. Дата обращения: 5 сентября 2023.
Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!