Тригонометрия

Эта статья прошла проверку экспертом
Материал из «Знание.Вики»
Наука
Математика
Область математики
Тема Тригонометрия
Предмет изучения метрические соотношения между элементами треугольника
Период зарождения термин впервые появился в 1595 году
Основные направления математика
Вспомогат. дисциплины алгебра, геометрия, математический анализ
Значительные учёные Л. Эйлера, И. Кеплер, Н. Коперник, Т. Браге, Ф. Виет

Тригономе́трия (от греческого τρίγωνον — «треугольник» и «метрия»), раздел геометрии, в котором метрические соотношения между элементами треугольника описываются через тригонометрические функции, а также устанавливаются соотношения между тригонометрическими функциями[1]. Первый раз термин появился в 1595 году в виде названия книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (15611613)[2].

Основные сведения

Тригонометрия изучается как в евклидовой, так и в неевклидовой геометрии. Тригонометрия сферы евклидова пространства называется сферической тригонометрией[1].

Тригонометрия в евклидовой геометрии

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника). Функции без приставки «ко» — основные тригонометрические функции, функции, содержащие приставку «ко» — дополнительные тригонометрические функции.

  • Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  • Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  • Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
  • Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
  • Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету[3].

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть углов от 0° до 90°. Углы 300, 450 и 600 называют табличными, для нахождения значений других тригонометрических функций можно воспользоваться таблицами Брадиса или инженерным калькулятором.

Таблица значений для углов 300, 450 и 600:

Угол α0 sinα cosα tgα ctgα
300
450 1 1
600

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике связаны следующими формулами:

  1. основное тригонометрическое тождество:
  2. ctg * ctg = 1
  3. cos = sin[4].

Тригонометрические функции в произвольном треугольнике

Произвольный треугольник

Решить произвольный треугольник, то есть по известным трем его элементам, найти остальные элементы треугольника, можно с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов.

  1. Теорема синусов =[5].
  2. Теорема косинусов: , , [6].

Тригонометрические функции и единичная окружность

Тригонометрические функции и единичная окружность
Тригонометрические функции и единичная окружность

Если точка лежит на тригонометрической окружности, а t — угол между осью абсцисс и радиус-вектором данной точки, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс, то её декартовы прямоугольные координаты (x, y) по определению равны

cos t и sin t соответственно.

cos t=x и sin t=y, остальные функции определяются как их отношения:

  • тангенс — отношение синуса к косинусу,
  • котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу),
  • секанс — величина, обратная косинусу,
  • косеканс — величина, обратная синусу.

Величина угла считается положительной, если отсчёт ведётся против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчёт ведётся по ходу часовой стрелки.

Для тригонометрических функций произвольных углов справедливы следующие формулы:

  1. основное тригонометрическое тождество:
  2. ctg ctg = 1

Для вычисления тригонометрических функций для углов, больших, чем острые, используют формулы приведения[7]

Формулы приведения

Аналитическое определение

Синусоида и косинусоида
Тангенсоида

Каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, а это значит, что на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cosx — аналитическое определение[8]. Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс относятся к основным элементарным функциям. Для графика функции синус используют название «синусоида», график функции косинус называют «косинусоида». График функции тангенс и котангенс — «тангенсоида», «котангенсоида» соответственно. Функции периодические, их графики имеют вид бесконечных волнообразных кривых. Секансоида и косекансоида — название графиков функций секанс и косеканс соответственно[9].

Сфери́ческий треугольник

Сферическая тригонометрия

Предмет сферической геометрии — решение сферических треугольников, образуемых на поверхности шара дугами больших кругов[10]. А значит, сфери́ческая тригономе́трия, как раздел геометрии, изучает связи между углами и сторонами сферических треугольников. В сферическом треугольнике стороны a, b, c измеряются соответствующими центральными углами, а произведение этих углов и радиуса сферы — это длина его сторон. Используя, формулы сферической тригонометрии, можно по любым трём элементам сферического треугольника найти три его остальных элемента (решить треугольник)[11].

Сферическая теорема Пифагора cos a = cos b cos d

Теорема косинусов для сферического треугольника:

  • 1) cos a = cos b cos с + sin b sin с cos A;
  • 2) cos A = sin B sin С cos a − cos B cos С.

Формулы пяти элементов:

  • 1) sin a cos B = cos b sin с − sin b cos с cos A;
  • 2) sin A cos b = cos B sin С + sin B cos С cos a

Теорема синусов для сферического треугольника: =[12].

Тригонометрия в неевклидовой геометрии

Гиперболический треугольник, внутренние углы

В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 1800.

1. В треугольнике с прямым углом выполняются следующие соотношения:

  • Гиперболический косинус гипотенузы c равен произведению гиперболических косинусов катетов a и b: ch c = ch a ch b (эту формулу называют гиперболической теоремой Пифагора);
  • б) th a = sh b tg .

2. sh a = sh c sin , th b = th c cos , cos = ch a sin, ctg ctg = ch c.

При малых a, b и c эти соотношения принимают вид: a = c sin , b = c cos , ctg ctg = 1, cos = sin, то есть такие же как для функций в прямоугольном треугольнике евклидовой геометрии.

Для произвольного треугольника в гиперболической геометрии справедливы теоремы, аналогичные теоремам синусов и косинусов в евклидовой планиметрии[13].

История

Трактат по тригонометрии Ли Мадоу (китайское имя иезуита из Италии Маттео Риччи, 1552—1610 гг.)

Тригонометрия (от древне-греческого «треугольники измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 году как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (15611613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли)[14].

Составление первых тригонометрических таблиц принадлежит Гиппарху Никейскому (180125 лет до нашей эры). В его таблицах даны значения дуг и хорд для серии углов, соответствующие введённым позднее синусам[15].

Тригонометрия на плоскости начала развиваться позднее сферической, хотя отдельные её теоремы встречались и раньше. Например:

1) 12-я и 13-я теоремы 2-й книги «Начал» Евклида выражают по существу теорему косинусов.

2) Тригонометрия развивалась арабскими астрономами и математиками, которым была уже известна теорема синусов

3) Теорема тангенсов была получена Региомонтаном (XV век).

4) Дальнейшие работы в области тригонометрии принадлежат

Современный вид тригонометрия получила в работах Л. Эйлера (XVIII век)[1].

Литература

  1. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы: Для сред. шк. — 55-е изд. — М.: Просвещение, 1986. — 96 с.
  2. Кранц П. Сферическая тригонометрия: пер. с нем./ под ред. Я. Н. Шпильерейна. Изд. 2-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 96 с.
  3. Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского: Электронное издание — М.: МЦНМО, 2014 — 88 с
  4. Иовлев Н. И. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского.- Государственное издательство Москва, 1930 — 67 с.

Примечания

  1. 1,0 1,1 1,2 Тригонометрия. Большая российская энциклопедия . Дата обращения: 31 августа 2023.
  2. Тригонометрия. Картаслов.ру. Дата обращения: 11 сентября 2023.
  3. Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А. Элементарная математика. Часть 3. Тригонометрия: учебное пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2017. — С. 3,4,6. — 107 с.
  4. Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А. Элементарная математика. Часть 3. Тригонометрия: учебное пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2017. — С. 4,7. — 107 с.
  5. Теорема синусов. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 27 сентября 2023.
  6. Теорема косинусов. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 27 сентября 2023.
  7. Формулы приведения. mathus.ru. Дата обращения: 27 сентября 2023.
  8. Демидова Н.Е. Математика. Основы тригонометрии: Учебное пособие. — Н.Новгород: Нижегородский государственный архитектурностроительный университет, 2011. — С. 62. — 92 с.
  9. Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А. Элементарная математика. Часть 3. Тригонометрия: учебное пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2017. — С. 23—27. — 100 с.
  10. Степанов Н.Н. Сферическая тригонометрия. — ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — С. 7. — 154 с.
  11. Сферическая тригонометрия. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 23 сентября 2023.
  12. Мордовцев С. М. Конспект лекций по курсу «Сферическая геометрия и тригонометрия» / Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Л.Б. Коваленко. — Харьков. нац. ун-т гор. хоз-ва им. А. Н. Бекетова.: Харьков. нац. ун-т гор. хоз-ва им. А. Н. Бекетова. – Харьков : ХНУГХ им. А.Н. Бекетова, 2016. — С. 34,38,39,43. — 96 с.
  13. Сосов Е. Н. Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. — Казань: Казан. ун-т, 2016. — С. 14—18. — 84 с.
  14. Появления термина «тригонометрия». ОЗС. «Хронолайнер». Дата обращения: 30 августа 2023.
  15. Гиппарх. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 23 сентября 2023.
WLW Checked Off icon.svg Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!