Угол

У́гол — это простая геометрическая фигура, которая образуется двумя лучами, выходящими из одной общей точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон. Угол является одним из ключевых геометрических понятий, изучаемых в школьном курсе математики, и находит применение в повседневной жизни. Углы играют важную роль в геометрии и имеют много применений в различных областях науки и техники. Они используются для измерения поворотов и направлений, а также для определения геометрических форм и конструкций.

Основные сведения

Внутренняя область угла

Угол является геометрической фигурой, которая ограничена двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла. Угол — это область плоскости между двумя лучами, имеющая общую начальную точку, называемую вершиной угла. Угол разделяет плоскость на две части. Внутренняя область угла включает все точки, лежащие внутри самого угла и на лучах его сторон. Внешняя область угла включает все точки, лежащие вне угла. Луч, исходящий из вершины неразвёрнутого угла и проходящий внутри угла, делит этот угол на два угла. Умение измерять и строить углы является важным навыком, необходимым каждому человеку, и находит широкий спектр применения в различных сферах жизнедеятельности.

Обозначение углов

В 1634 году французский математик Пьер Эригон предложил для обозначения угла символ «<», а 1657 году Уильям Отред придал ему современную форму ∠.

В математике углы можно обозначать:

• Тремя заглавными латинскими буквами, например, ∠MON и ∠NOM, где О — это вершина угла, а N и M — две точки, расположенные на сторонах угла.
• Двумя маленькими латинскими буквами, например ∠ab или ∠ba, где а и b — это стороны угла.
• Одной заглавной латинской буквой, например, ∠А, где А — вершина угла.
• Одной арабской цифрой, например, ∠3.

На чертежах разные типы углов обозначаются различными способами в зависимости от их вида и значимости. Для простых углов используются одинарные дужки, для прямых — двойные, а для тупых — тройные дужки. Одинаковое равенство углов может быть отмечено одинаковой градацией дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на них. Если два угла равны, то их дужки могут иметь одинаковое количество штрихов. Если требуется указать направление отсчета угла, обычно на дужке ставится стрелка. Стрелка показывает, в какую сторону следует начинать измерение угла.

Прямые углы, особый вид углов, отмечаются не дужками, а двумя соединенными равными отрезками, образующими вместе с боковыми сторонами угла маленький квадрат. Одна из вершин этого квадрата совпадает с вершиной угла.

Все эти методы обозначения углов на чертежах помогают визуально представить их размеры и свойства. Они являются основными и широко используются в различных областях, включая геометрию, архитектуру, инженерию и дизайн.

Виды углов

Углы могут быть различных видов в зависимости от их величины. Если угол меньше 90 градусов, то он называется острый угол. Угол, равный 90 градусам, называется прямым углом. Угол, больший 90 градусов, но меньший 180 градусов, называется тупым углом. Если угол равен 180 градусам, то он называется развёрнутым углом или полным углом. Развёрнутый угол — угол, у которого обе стороны лежат на одной прямой. У развёрнутого угла каждая сторона является продолжением другой стороны..

Также определить вид угла можно помощью чертёжного угольника.

Прямой угол определяем с помощью чертёжного угольника.

Угол, меньший прямого угла называется острым углом.

Угол, больший прямого угла — тупой угол.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.

Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Выпуклый угол — угол, больший развёрнутого угла (>180°) и меньший полного (< 360°).

• 

  Прямой угол

• 

  Острый угол

• 

  Тупой угол

• 

  Смежные углы

• 

  Вертикальные углы

• 

  Выпуклый угол

Измерение углов

Угловая мера

Угловая мера имеет свое важное место, она определяет отношение одного измерения углов на плоскости к другому, часто служа основой для строительства и математических вычислений. Угловая мера — это ключевой элемент геометрии, который помогает нам ориентироваться в мире и приводит нас к новым открытиям и пониманию форм. Это важный инструмент для создания и понимания структур, как в архитектуре, так и в науке. Угловая мера используется для сопоставления плоских углов. Два плоских угла считаются равными, если они полностью совмещаются, то есть их вершины и стороны совпадают. В любом направлении на плоскости можно построить один угол, равный данному. Если один угол может быть полностью включен внутрь другого так, что их вершины и одна из сторон совпадают, то первый угол будет меньше второго. Прилежащими называются два угла, у которых вершина и одна из сторон совпадают, однако их внутренние области не пересекаются. Угол, образованный несовпадающими сторонами двух прилежащих углов, будет являться комбинированным углом, составленным из данных углов.

Углы могут быть измерены в:

• радианах
• градусах — величина (градусная мера) угла, равная части развёрнутого угла.
• минутах — часть градуса.
• секундах — часть минуты.

Градусная мера угла обычно записывается в виде числа, которое указывает количество полных градусов, минут и секунд в угле. Например, угол 45 градусов 30 минут 20 секунд записывается как 45° 30' 20".

Для перевода градусов в минуты и секунды используется следующая формула:

1 градус = 60 минут.

1 минута = 60 секунд.

Таким образом, угол 45° можно представить как 45° * 60 минут = 2700 минут, или как 2700 минут * 60 секунд = 162000 секунд.

Градусная мера угла может быть положительной или отрицательной, в зависимости от направления вращения. Например, положительная градусная мера обозначает поворот против часовой стрелки, а отрицательная — по часовой стрелке. В градусной мере угол полного вращения равен 360°, в то время как в радианном измерении он равен 2π радианам.

Приборы для измерения углов

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы.

Транспортир представляет собой полукруглую пластину или полукруглый неподвижный выступ с делениями. Он обычно изготавливается из прозрачного пластика или металла. Чтобы построить угол с помощью транспортира, его нужно приложить к начальной точке угла, так чтобы центр транспортира совпал с вершиной угла. Затем можно провести линии через деления транспортира, чтобы определить величину угла.

Угломер представляет собой специальный инструмент для измерения углов. Он обычно состоит из двух подвижных линеек, которые можно установить в разные позиции для измерения различных типов углов. Угломеры могут быть аналоговыми или цифровыми, в зависимости от того, как они показывают измеренное значение угла.

Гониометр — это прибор для точного измерения углов в лабораторных условиях. Он обычно состоит из фиксированной основы и подвижной платформы, на которой устанавливаются примеры или объекты для измерения углов. Гониометры могут иметь тонкие шкалы и механизмы для поворота платформы с высокой точностью.

Кипрегель — это геодезический инструмент, используемый для измерения углов на местности. Он состоит из трёх ножек, которые можно установить на землю, и вертикального стержня с прикреплённым транспортиром для измерения углов. Кипрегели обычно используются геодезистами для измерения направления или углов между различными точками на местности.

Все эти инструменты предназначены для более точного и удобного измерения углов. Они используются в различных областях, включая строительство, геодезию, физику и другие науки. Применение правильного инструмента может значительно улучшить точность измерений и обеспечить более надежные результаты.

Сравнение углов

1. По виду угла. Любой острый угол меньше прямого и тупого угла. Прямые углы меньше тупых углов.
2. Способ наложения одного угла на другой. Для определения равенства углов необходимо наложить один угол на другой таким образом, чтобы одна сторона одного угла совпала с одной стороной другого угла, в то время как две оставшиеся стороны оказались по одну сторону от совпавших сторон. В случае, если две оставшиеся стороны совпадают, углы полностью совпадают и, следовательно, равны. В противном случае, меньшим считается угол, который является частью другого. Таким образом, сравнивая стороны и учитывая их положение относительно друг друга, можно определить, равны ли углы или какой угол меньше а какой больше
3. Измерением углов с помощью измерительных приборов.