Площадь

Материал из «Знание.Вики»
Перейти к навигации Перейти к поиску
Наука
Математика
Область математики
Тема Площадь
Предмет изучения сколько единичных квадратов и их частей заполняет плоскую фигуру
Основные направления математика
Вспомогат. дисциплины алгебра, геометрия, математический анализ, тригонометрия

Пло́щадь (в математике) — одна из количественных характеристик геометрических фигур, показывающая сколько единичных квадратов и их частей заполняет плоскую фигуру. Единичный квадрат — это квадрат со стороной, равной единице длины[1].

Свойства площади

Свойство аддитивности площади (на примере выпуклого многоугольника)

К основным свойствам площади относятся следующие её свойства:

  1. положительность (значения площади выражаются только положительными числами);
  2. аддитивность (площадь фигуры, составленной из нескольких частей, которые не имеют общих точек — не пересекаются, равна сумме площадей её частей):
  3. инвариантность (значения площади при перемещениях не изменяются);
  4. нормированность (площадь единичного квадрата равна квадрату его стороны)[2].

Площадь плоских фигур

Основные формулы для вычисления площади некоторых плоских фигур[3]
Название плоской фигуры Формула Обозначения Изображение
Квадрат ,

S = d2

a — длина стороны квадрата

d — диагональ квадрата

Квадрат
Прямоугольник a и b — длины сторон прямоугольника
Прямоугольник
Параллелограмм ,

,

a — основание, h — высота

a и b — смежные стороны,  — угол между ними

d1 и d2 — диагонали параллелограмма,  — угол между ними

Параллелограмм
Ромб AC=d1 и BD=d2 - диагонали ромба
Ромб
Треугольник ,

,

,

a — основание, h — высота

a и b — смежные стороны,  — угол между ними

a, b и c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности

P — периметр треугольника, r — радиус вписанной окружности

a, b и c — стороны треугольника, p — его периметр (формула Герона)

Треугольник
Трапеция a и b — основания, h — высота трапеции
Трапеция
Круг r — радиус круга
Круг

Способы нахождения площади

Квадрируемая фигура с внешней и внутренней областью

Квадрируемые фигуры

Плоская фигура F произвольной формы квадрируема, если существуют такие многоугольные фигуры F1 и F2, что F1 F F2[4].

Под внешней площадью фигуры понимается множество элементарных квадратов, имеющих точную нижнюю границу, под внутренней — множество элементарных квадратов, имеющих точную верхнюю. Фигуру, с равными внешней и внутренней площадью, называют квадрируемой[2].

Если верхняя площадь фигуры совпадает с её нижней площадью, то эта величина называется площадью фигуры, а сама фигура — квадрируемой. На данном определении построена теория площадей плоских фигур, ограниченных простыми (то есть не пересекающими себя) контурами[5].

Площадь криволинейной трапеции

Аналитический способ

Площадь плоских фигур — так называемых криволинейных трапеций можно вычислить с помощью определённого интеграла по формуле , где f(x) — функция, ограничивающая заданную фигуру сверху, x=a и x=b — прямые, ограничивающие её слева и справа соответственно, [a; b] — отрезок оси Ox, ограничивающий фигуру снизу[1].

Площадь плоской фигуры, ограниченных двумя кривыми y1(x) и y2(x) и прямыми x=a и x=b, ограничивающих её слева и справа соответственно можно вычислить с помощью определённого интеграла по формуле [6].

Если фигура, ограниченна замкнутым контуром, который встречается с каждой прямой, параллельной к оси Oy, не более чем в двух точках, то её площадь находят с помощью двойного интеграла по формуле [1].

Площадь поверхности

Площадь поверхности для многогранных поверхностей равна сумма площадей её плоских граней[4].

Площадей фигуры, расположенной на кривой поверхности, заданной уравнением z=f(x, y), может быть выражена двойным интегралом [1].

Единицы измерения площади

Таблица единиц площади в метрической системе мер:

1мм2 1см2 1дм2 2 1га, где каждая следующая единица площади в 100 раз больше предыдущей.

Площади больших фигур измеряют в км2.

1а = 100 м2, 1га = 10000 м2, 1км2 = 1000000 м2[7].

Литература

  1. Высшая математика : учебное пособие / В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, М. М. Михалева, Н. В. Чуксина, И. А. Шестакова. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017.— Ч. II.— 300 с.

Примечания

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Площадь (в математике). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 27 сентября 2023.
  2. 2,0 2,1 Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры. Математика на cleverstudents.ru. Дата обращения: 29 сентября 2023.
  3. Формулы площади геометрических фигур. OnlineMSchool. Дата обращения: 1 октября 2023.
  4. 4,0 4,1 Математическая энциклопедия площадь. es.niv.ru. Дата обращения: 29 сентября 2023.
  5. Площадь (в математике). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 29 сентября 2023.
  6. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Высшая математика для заочников и не только. Дата обращения: 1 октября 2023.
  7. Меры и единицы площади. Ваш онлайн. Дата обращения: 1 октября 2023.
WLW Checked Off icon.svg Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!