Площадь
Наука | |
Математика | |
---|---|
Тема | Площадь |
Предмет изучения | сколько единичных квадратов и их частей заполняет плоскую фигуру |
Основные направления |
математика |
Вспомогат. дисциплины | алгебра, геометрия, математический анализ, тригонометрия |
Пло́щадь (в математике) — одна из количественных характеристик геометрических фигур, показывающая сколько единичных квадратов и их частей заполняет плоскую фигуру. Единичный квадрат — это квадрат со стороной, равной единице длины[1].
Свойства площади
К основным свойствам площади относятся следующие её свойства:
- положительность (значения площади выражаются только положительными числами);
- аддитивность (площадь фигуры, составленной из нескольких частей, которые не имеют общих точек — не пересекаются, равна сумме площадей её частей):
- инвариантность (значения площади при перемещениях не изменяются);
- нормированность (площадь единичного квадрата равна квадрату его стороны)[2].
Площадь плоских фигур
Название плоской фигуры | Формула | Обозначения | Изображение |
---|---|---|---|
Квадрат | ,
S = d2 |
a — длина стороны квадрата
d — диагональ квадрата |
|
Прямоугольник | a и b — длины сторон прямоугольника | ||
Параллелограмм | ,
, |
a — основание, h — высота
a и b — смежные стороны, — угол между ними d1 и d2 — диагонали параллелограмма, — угол между ними |
|
Ромб | AC=d1 и BD=d2 - диагонали ромба | ||
Треугольник | ,
, ,
|
a — основание, h — высота
a и b — смежные стороны, — угол между ними a, b и c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности P — периметр треугольника, r — радиус вписанной окружности a, b и c — стороны треугольника, p — его периметр (формула Герона) |
|
Трапеция | a и b — основания, h — высота трапеции | ||
Круг | r — радиус круга |
Способы нахождения площади
Квадрируемые фигуры
Плоская фигура F произвольной формы квадрируема, если существуют такие многоугольные фигуры F1 и F2, что F1 F F2[4].
Под внешней площадью фигуры понимается множество элементарных квадратов, имеющих точную нижнюю границу, под внутренней — множество элементарных квадратов, имеющих точную верхнюю. Фигуру, с равными внешней и внутренней площадью, называют квадрируемой[2].
Если верхняя площадь фигуры совпадает с её нижней площадью, то эта величина называется площадью фигуры, а сама фигура — квадрируемой. На данном определении построена теория площадей плоских фигур, ограниченных простыми (то есть не пересекающими себя) контурами[5].
Аналитический способ
Площадь плоских фигур — так называемых криволинейных трапеций можно вычислить с помощью определённого интеграла по формуле , где f(x) — функция, ограничивающая заданную фигуру сверху, x=a и x=b — прямые, ограничивающие её слева и справа соответственно, [a; b] — отрезок оси Ox, ограничивающий фигуру снизу[1].
Площадь плоской фигуры, ограниченных двумя кривыми y1(x) и y2(x) и прямыми x=a и x=b, ограничивающих её слева и справа соответственно можно вычислить с помощью определённого интеграла по формуле [6].
Если фигура, ограниченна замкнутым контуром, который встречается с каждой прямой, параллельной к оси Oy, не более чем в двух точках, то её площадь находят с помощью двойного интеграла по формуле [1].
Площадь поверхности
Площадь поверхности для многогранных поверхностей равна сумма площадей её плоских граней[4].
Площадей фигуры, расположенной на кривой поверхности, заданной уравнением z=f(x, y), может быть выражена двойным интегралом [1].
Единицы измерения площади
Таблица единиц площади в метрической системе мер:
1мм2 1см2 1дм2 1м2 1а 1га, где каждая следующая единица площади в 100 раз больше предыдущей.
Площади больших фигур измеряют в км2.
1а = 100 м2, 1га = 10000 м2, 1км2 = 1000000 м2[7].
Литература
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Площадь (в математике) . Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 27 сентября 2023.
- ↑ 2,0 2,1 Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры . Математика на cleverstudents.ru. Дата обращения: 29 сентября 2023.
- ↑ Формулы площади геометрических фигур . OnlineMSchool. Дата обращения: 1 октября 2023.
- ↑ 4,0 4,1 Математическая энциклопедия площадь . es.niv.ru. Дата обращения: 29 сентября 2023.
- ↑ Площадь (в математике) . Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 29 сентября 2023.
- ↑ Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры . Высшая математика для заочников и не только. Дата обращения: 1 октября 2023.
- ↑ Меры и единицы площади . Ваш онлайн. Дата обращения: 1 октября 2023.
Данная статья имеет статус «проверенной». Это говорит о том, что статья была проверена экспертом |