Дифференциальное уравнение

Наука
Математика
Тема	Дифференциальное уравнение
Предмет изучения	Дифференциальное исчисление
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математический анализ
Значительные учёные	Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж

Дифференциáльное уравнéние — это уравнение, которое устанавливает связь между независимой переменной x, неизвестной функцией y(x) и её производными до некоторого заданного порядка n. Такое уравнение называют дифференциальным уравнением n-го порядка, и оно имеет вид:

$F(x,y,y\prime ,y\prime \prime ,...,y^{n})=0$

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений является разделом математики, который изучает уравнения, связывающие производные функции с самой функцией. Она подразделяется на две основные области: теория обыкновенных дифференциальных уравнений и теория уравнений с частными производными.

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений имеет большое значение в современной математической науке, поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения используются для моделирования различных физических, химических и биологических явлений, таких как движение планет, химические реакции и распространение болезней, являются основой для более сложных теорий. Существует широкий спектр методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, как аналитических, так и численных. Современные вычислительные машины играют важную роль в решении и анализе обыкновенных дифференциальных уравнений, облегчая исследования их свойств и предоставляя быстрые и экономичные расчеты.

История

Теория дифференциальных уравнений

Для того чтобы определить значимость теории обыкновенных дифференциальных уравнений в актуальной математической науке, следует выделить ключевые черты теории дифференциальных уравнений, разделённой на две крупные области: теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и теорию уравнений с частными производными. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке. Потребность в решении дифференциальных уравнений для задач механики, таких как определение траекторий движений, стала стимулом для создания Ньютоновского нового исчисления. Через обыкновенные дифференциальные уравнения стали появляться приложения нового исчисления в задачах геометрии и механики, благодаря чему удалось решать задачи, долгое время считавшиеся неразрешимыми. В области небесной механики удалось не только объяснить уже известные факты, но и сделать новые открытия, такие как обнаружение Леверье планеты Нептун в 1846 году на основе анализа дифференциальных уравнений.

Возникновение

Когда неизвестная функция зависит только от одной независимой переменной, возникают обыкновенные дифференциальные уравнения. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и её производными формирует дифференциальное уравнение. Важные задачи этой теории включают существование решений, удовлетворяющих начальным данным (условия Коши, краевые условия и прочие), единственность решения и его устойчивость, что означает малые изменения решения при малых изменениях исходных данных задачи и функций уравнения.

Вклад ученых

Основу этой науки заложили труды выдающихся учёных, таких как Жан Лерон Д' Аламбер, Эйлер, Бернулли, Лагранж, Лаплас, Пуассон, Фурье и других. Методы и идеи, развиваемые в ходе исследований конкретных задач математической физики, оказались применимыми для обширных классов дифференциальных уравнений, что в конце XIX века привело к созданию общей теории дифференциальных уравнений.

Назначение

В настоящее время значительное влияние на развитие теории дифференциальных уравнений оказывает использование современных вычислительных машин. Компьютерные эксперименты облегчают исследование свойств решений дифференциальных уравнений, что теоретически обосновывается и служит основой для дальнейших научных исследований. Задача теории — предоставление инженерам и физикам эффективных методов для быстрого и экономичного расчета решений.

Решение уравнений

Примеры графиков

Функция

Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же функция зависит от нескольких переменных и уравнение включает частные производные по этим переменным, то это является дифференциальным уравнением в частных производных. Максимальный порядок производной, присутствующей в уравнении, определяет порядок данного дифференциального уравнения. Существуют дифференциальные уравнения первого порядка, второго порядка и так далее, а также уравнения в частных производных первого порядка.

Интегрирование

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения такого уравнения называется интегральной кривой. Решение дифференциального уравнения на интервале (𝑎; 𝑏) представляет собой функцию 𝑦 = 𝜑(𝑥), которая определена вместе со своими производными на этом интервале. Если заменить y на 𝜑(x) в исходном дифференциальном уравнении, то уравнение будет выполнено тождественно на всем интервале (a; b).

Методы решения

Существует несколько методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Вот некоторые из них:

1. Метод интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель и интегрируем.
2. Метод Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной.
3. Метод вариации постоянной (Лагранжа). Сначала решаем однородное уравнение, а затем заменяем постоянную на функцию, зависящую от переменной.

Примеры дифференциальных уравнений:

• $F(x,y,{dy \over dx},{d^{2}y \over dx^{2}},...,{d^{n}y \over dx^{n}})=0$, где $y=y(x)$ — неизвестная (искомая) функция, зависящая от переменной $x$;

• простейшее дифференциальное уравнение: $y\prime =f(x)\Rightarrow y=\int f(x)dx=F(x)+C$;

• дифференциальное уравнение показательного роста: $f\prime (x)=kf(x)\Rightarrow f(x)=(Ce^{k})^{x}$.

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель.