Система линейных уравнений

Наука
Математический анализ
Тема	Системы линейных уравнений
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Систе́ма лине́йных уравне́ний — объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}$ или в сокращённой записи:

$\sum _{j=1}^{N}a_{ij}x_{i}=b_{i}(i=1,{\overline {1,m}})$, где $a_{ij},b_{i}\in R$.

Сумма всех произведений элементов $a_{ij}$ и $x_{i}$ , где $i$ принимает значения от 1 до $N$, равна $b_{i}$ для каждого $i$, принимающего значения от 1 до $m$, где коэффициенты $a_{ij}$и значения $b_{i}$принадлежат множеству действительных чисел (R).

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную матрицу $A=(a_{ij})$ размера $m\times n$, которую будем называть матрицей (основной матрицей) системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений системы образуют столбцовую матрицу $B=(b_{i})$ размера $m\times 1$, называемую столбцом свободных членов $a_{i,j}(i=1,2,...,m,j=1,2,...,n)$.

Основные определения

В математике система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, которые описывают одни и те же переменные. Такие системы часто возникают в реальных приложениях, таких как инженерия, физика, экономика и другие, где необходимо анализировать взаимосвязи между переменными. Понимание того, как решать эти системы, помогает найти точки пересечения прямых или плоскостей, которые представляют собой решение уравнений.

Каждое из уравнений может описывать линию, плоскость или более сложную геометрическую поверхность, что зависит от числа переменных в системе.

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}$,

где числа $a_{ij}(i=1,2,...,m;i=1,2,...,n)$ называются коэффициентами системы, а числа $(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ — свободными членами (или правыми частями) системы уравнений.

• Определение 1. Решением системы называется упорядоченный набор чисел $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$, такой, что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных, каждое из уравнений системы обращается в тождество.
• Определение 2. Система уравнений называется совместной, если у неё существует хотя бы одно решение. Если же решений нет, она называется несовместной.
• Определение 3. Совместная система называется определённой, когда имеет только одно решение, и неопределённой, если решений больше одного.
• Определение 4. Две системы уравнений считаются равносильными, если их множества решений совпадают, то есть каждое решение одной системы одновременно является решением другой и наоборот
• Определение 5. Если $b_{1}=b_{2}=...=b_{n}=0$, то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Заметим, что однородная система уравнений всегда совместна. Одно из её решений очевидно: это так называемое нулевое, или тривиальное, решение

$x_{1}=x_{2},=\dots =x_{n}=0$.

Систему можно записать в матричной форме:

𝐴𝑋 = 𝐵,

где А=${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$ — матрица коэффициентов системы,

Х=${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ — столбец неизвестных и В=${\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$ — столбец свободных членов.

Решение системы линейных уравнений

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k₁, k₂, …, k_n), которая является решением каждого уравнения системы, то есть при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁, x₂, …, x_n даёт верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех её решений или доказать, что это множество пустое. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, то есть множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему. Здесь ранг расширенной матрицы не равен рангу основной матрицы: $r(Ap)\neq r(A)$.
2. Система совместна и определена, то есть имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный ещё со школьной скамьи. Здесь ранги основной и расширенной матриц равны: $r(Ap)=r(A)=n$.
3. Система совместна и не определена, то есть имеет бесконечно много решений. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество. Здесь ранги основной и расширенной матриц меньше количества уравнений: $r(Ap)=r(A)<n$.

Методы решения

При решении различного вида задач можно использовать различные методы решения систем линейных уравнений. Так как они имеют разный уровень сложности, то в каждом из них есть свои положительные и отрицательные стороны. Далее представлены наиболее часто используемые методы:

• Метод подстановки: найти переменную в одном уравнении и подставить её в другие уравнения. Метод подстановки удобен для небольших систем с двумя уравнениями или когда одна из переменных легко выражается через другую.
• Метод исключения: объединить уравнения, чтобы исключить переменные и найти оставшиеся неизвестные. Метод исключения особенно удобен, когда можно легко привести коэффициенты переменных к одинаковым значениям, что позволяет быстро исключить одну переменную и решить систему.
• Метод Гаусса: преобразовать систему в ступенчатую форму с помощью матриц и выполнить обратную подстановку для поиска решений. Метод подходит для решения систем с любым количеством уравнений и переменных. Он может быть использован для систем с любыми коэффициентами, включая дробные и иррациональные. Метод эффективен для решения больших систем уравнений. Метод Гаусса часто используется в линейной алгебре и математике для решения систем линейных уравнений, так как он систематичен и универсален.
• Правило Крамера: использовать определители для решения систем линейных уравнений, если система имеет единственное решение. Метод Крамера даёт точное решение, если матрица коэффициентов обратима (то есть её детерминант не равен нулю). Он применим для любой системы, где количество уравнений равно количеству переменных. Однако метод Крамера не всегда эффективен для больших систем, так как вычисление детерминантов требует большого объёма вычислений.

Применение системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений используются в различных областях науки и техники.

• Структурный анализ. В гражданском и машиностроительном проектировании системы линейных методов используются для анализа сил в конструкциях, изменения смещений и проектирования устойчивых каркасов.

• Анализ электрических цепей. В электротехнике законы Кирхгофа приводят к системам линейных сигналов, которые используются для анализа токов и напряжений в электрических цепях.

• Системы управления. В теориях управления линейные уравнения моделируют динамические системы и используются для разработки контроллеров, обеспечивающих желаемое поведение систем.

• Задачи оптимизации. В промышленной инженерии и управлении системами функционирования линейных источников решения задач линейного программирования, последствия для оптимизации производства, транспортировки и распределения ресурсов.