Тождество (математика)

То́ждество (в математике) — равенство двух выражений, справедливое для всех допустимых значений входящих в него переменных. В отличие от уравнения, которое нужно решить (найти конкретные значения переменных), тождество само по себе является утверждением о равенстве, которое требуется доказать или проверить. Понимание и умение работать с основными тождествами — ключевой навык, необходимый для успешного изучения алгебры, тригонометрии и других разделов математики.

Формальное определение

Говорят, что выражение A тождественно равно выражению B на некотором множестве (например, на множестве действительных чисел), если при любой подстановке значений переменных из этого множества получаются равные числовые значения. Записывается это как: A ≡ B.

Специальный знак тождественного равенства «≡» (тройное равно) был введён немецким математиком Бернхардом Риманом в 1857 году.

Часто используют обычный знак равенства (=), а контекст указывает на то, что это тождество. Например, основное тригонометрическое тождество $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$, верное для любого угла α или тождество, выражающее свойство операции $a+b=b+a$ (коммутативность сложения).

Классификация тождеств

Классификация тождеств — это систематизация различных типов математических тождеств по определённым признакам, таким как структура выражений, используемые операции, принадлежность к разделу математики или характер переменных. Классификация помогает структурировать знание, облегчает изучение и применение тождеств при решении текстовых задач.

	Виды	Описание	Примеры
По разделу математики	Алгебраические тождества	Связывают алгебраические выражения с использованием операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Часто служат для разложения на множители или раскрытия скобок
	Тригонометрические тождества	Связывают тригонометрические функции ($\sin ,\cos ,\tan ,\cot ,\sec ,\csc$) одного или нескольких аргументов.	$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$
	Логарифмические тождества	Вытекают непосредственно из определения логарифма	$a^{\log _{a}b}=b$
	Экспоненциальные (степенные) тождества	Связывают показательные функции.	$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$
	Тождества с модулем	Выражают свойства абсолютной величины числа	$\mid a\cdot b\mid =\mid a\mid \cdot \mid b\mid$
По структуре и характеру переменных	Буквенные (символьные) тождества	Содержат переменные, обозначенные буквами, и верны для всей области допустимых значений.	$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
	Числовые тождества	Частный случай буквенных, где переменные заменены конкретными числами, что превращает их в истинные числовые равенства.	$(5+3)^{2}=5^{2}+2\cdot 5\cdot 3+3^{2}$
	Функциональные тождества	Устанавливают равенство между двумя функциями на общей области определения.	Функции $f(x)=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x$ и $g(x)=1$ тождественно равны на всей числовой прямой.
По степени универсальности	Основные (фундаментальные) тождества	Лежат в основе раздела и часто принимаются за определение или являются простейшим следствием определений.	$a+0=a$ (свойство нуля)
	Производные тождества	Выводятся из основных с помощью тождественных преобразований.	Тождество $1+\tan ^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}$ выводится из основного тригонометрического путём деления на $\cos ^{2}\alpha$
По количеству и связи переменных	Тождества с одной переменной
	Тождества с несколькими переменными	К таким тождествам, например, относятся формулы сокращённого умножения.	$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
	Тождества, связывающие разные функции одной переменной		$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$
	Тождества, связывающие значения одной функции для разных аргументов	Устанавливают связь между функциями, которые зависят от разных аргументов, или выражают одни логические операции через другие.	$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha$

Доказательство тождеств

Доказательство тождества — логическая операция, целью которой является установление истинности утверждения о том, что два математических выражения равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Основная задача — показать, что разность между левой и правой частями тождества тождественно равна нулю или что обе части могут быть преобразованы в одно и то же выражение. При доказательстве тождеств необходимо выражения преобразовать в тождественно равное.

Тождественное преобразование выражения — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве. Сущность преобразования состоит в изменении формы записи математического объекта без изменения его сути или значения. Логической основой для таких преобразований служат аксиомы арифметики и алгебры (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность), определения математических операций и функций, а также ранее доказанные теоремы и тождества (формулы сокращённого умножения, основные тригонометрические тождества, свойства логарифмов и степеней). Любое тождественное преобразование представляет собой применение одного или нескольких таких базовых законов.

• Преобразование одной части к виду другой. Берётся одна часть равенства (обычно та, что выглядит сложнее) и с помощью последовательных тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул, разложение на множители) приводится к виду, полностью совпадающему со второй частью.
• Преобразование обеих частей к одному и тому же выражению. Когда преобразование только одной части к другой затруднительно, можно преобразовывать обе части независимо, стремясь привести их к одному и тому же третьему выражению.
• Использование ранее доказанных тождеств. Этот метод часто применяется в тригонометрии, алгебре и анализе, где существует иерархия формул. Доказательство сложного тождества сводится к последовательному применению уже установленных, более простых тождеств.

Важность и применение

Способность распознавать тождества и владеть техникой тождественных преобразований — это базовый язык, на котором математика формулирует и решает свои задачи. Эта роль проявляется на всех уровнях абстракции и во всех разделах.

• Основа решения уравнений, неравенств и систем. Любой процесс решения уравнения, начиная с простейшего линейного и заканчивая сложными дифференциальными, представляет собой цепочку тождественных преобразований, цель которых — изолировать искомую переменную или привести уравнение к каноническому, узнаваемому виду.
• Инструмент упрощения сложных выражений. Упрощение — это способ сделать объект понятным, пригодным для анализа или дальнейшего использования. Будь то алгебраическая дробь, тригонометрическая сумма или логарифмическое выражение, тождественные преобразования (разложение на множители, приведение подобных, использование формул) позволяют перейти к ясной и компактной форме.
• Ключевой метод доказательства теорем. Множество математических доказательств в алгебре, тригонометрии и анализе, построены на стратегии «преобразования к очевидному тождеству».
• В математическом анализе тождественные преобразования становятся неотъемлемой частью ключевых методов (например, тригонометрические подстановки в интегральном исчислении).

Тождественные преобразования находят широкое практическое применение в различных сферах науки и техники, выступая ключевым инструментом для моделирования, анализа и оптимизации. В инженерно-строительном деле эти преобразования являются основой для расчётов прочности конструкций, таких как здания и мосты. С их помощью определяются критические нагрузки, напряжения и деформации, что позволяет инженерам проектировать объекты, гарантируя их безопасность, устойчивость и долговечность. В физике тождественные преобразования незаменимы для работы с уравнениями в механике, электродинамике, квантовой теории и других разделах. Они позволяют упрощать сложные математические модели, выделять существенные параметры и получать решения, адекватно описывающие природные явления. В экономике и социальных науках данный аппарат используется для анализа экономических процессов и построения моделей. Экономисты применяют преобразования для изучения взаимосвязей между различными факторами, оценки их влияния на экономический рост и разработки эффективных стратегий на основе математически формализованных зависимостей.

Литература

1. Рурукин А. Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике: Математика. Интенсив / Рурукин А. Н. — Москва: ВАКО, 2004. — 248 с. — ISBN 5-94665-127-7.