Равенство (математика)

Распознавание равного количества вещей с первого взгляда

Ра́венство — фундаментальное понятие в математике, означающее полное совпадение значений и характеристик различных объектов. В математике равенство — отношение между двумя величинами, которое указывает на их идентичность. Равенство в логике и математике — отношение между выражениями, которое является верным только тогда, когда оба выражения указывают на один и тот же объект. Это означает, что все утверждения, сделанные в рамках данной теории о предмете, обозначенном одним выражением, будут верны и для предмета, обозначенного другим выражением.

Также это понятие может использоваться в переносном смысле, когда речь идет о признании равноценности или уравнивании кого-либо или чего-либо. Символ равенства — знак «=», введён в обиход Рекордом Робертом в XVI веке (1557 год).

Равенство и его определения

В повседневной речи мы часто используем слово «одинаковый». Под ним обычно подразумевается равенство объектов, будь то вещи, группы или абстрактные понятия. Одинаковость — понятие, которое определяется как бинарное отношение между элементами множества. Однако её содержание может варьироваться в зависимости от контекста, в котором рассматриваются эти элементы, или от точки зрения наблюдателя, который оценивает их сходство. Слово «одинаковость» часто используется в одном ряду с термином «взаимозаменяемость» объектов в конкретной ситуации.

Отношение эквивалентности — ключевое понятие, которое формализует интуитивное представление о том, как можно отождествлять объекты по определённому признаку и разделять их на группы, где каждый объект в группе идентичен другим объектам в этой группе по определённому критерию. Эквивалентность на множестве показывает, что его элементы «равны», но с некоторыми оговорками. Класс эквивалентности — объект, рассматриваемый с учётом этих ограничений.

Принцип равенства неразличимых, который в языке логики предикатов первого порядка выражается аксиомой (экстенсиональности): $A=B\ \ \Leftrightarrow \ \ \forall x\colon \ (x\in A)\ \Leftrightarrow \ (x\in B)$ и аксиомой $x=x$, стал уже традицией. В языке второго порядка — через определение: $x=y\ \ \Leftrightarrow \ \ \forall P\colon \ P(x)\ \Leftrightarrow \ P(y)$.

Понятие равенства было изучено авторами первых трудов по алгебре логики, включая Дж. Буля, Э. Шрёдера и П. С. Порецкого. Оно является одним из ключевых логических отношений, что и определяет его фундаментальную значимость как в разнообразных приложениях математики и логики, так и в их философском анализе.

Свойства равенства

Среди характеристик равенства, которые позволяют выполнять равнозначные преобразования выражений, содержащих это отношение, выделяется прежде всего правило замены равного на равное, вытекающее из его определения.

Из этого же определения следуют три важных свойства отношения равенства:

1. рефлексивность (a = a),
2. симметричность (если a = b, то b = a),
3. транзитивность (если a = b и b = c, то a = c).

С другой стороны, как продемонстрировал П. Лоренцен, для идентичных конструктивных объектов, порождаемых различными рекурсивными определениями, все свойства равенства, включая [1]-[3], являются доказуемыми.

Виды равенств

Числовые равенства

Если взять два числовых выражения, а и b, и соединить их знаком равенства, то получится предложение а = b, которое называется числовым равенством. Например, выражения $34-2$ и $6-1$, соединённые знаком равенства, образуют истинное числовое равенство $34-2=6-1$. В то же время, если соединить выражения $34-2$ и $7-3$ знаком равенства, то получим ложное числовое равенство $34-2=7-3$.

С логической точки зрения, числовое равенство представляет собой утверждение, которое может быть истинным или ложным. Числовое равенство считается истинным, если числовые выражения, находящиеся в его левой и правой частях, имеют одинаковые значения.

Равенства с переменными

В математике формулы с предикатом равенства (равенства с переменными) могут содержать переменные, которые остаются неизменными в определённом контексте. Эти переменные называют параметрами равенства.

Если формула верна при любых значениях переменных (параметров), она является тождеством. Если же она верна только при определённых значениях, это уравнение.

Отношения эквивалентности

В разных науках, особенно в дедуктивных, важное значение имеют отношения, аналогичные равенству, которые обладают свойствами [1], [2] и [3]. Эти отношения разделяют предметную область на непересекающиеся группы, называемые классами эквивалентности. Если игнорировать все различия между элементами внутри одного класса, кроме того, что их объединяет общий предикат «типа равенства», то для них можно установить обычное равенство. Такие отношения также называют отношениями эквивалентности. Рассмотрим несколько примеров. Эквивалентность логических формул, равномощность множеств, параллельность и конгруэнтность в геометрии, сравнение чисел по модулю, изоморфизм — все эти отношения характеризуют «одинаковость» объектов в разных контекстах. Термин «равенство» обычно относится не к именам объектов, а к самим объектам.

В теории алгоритмов важно графическое равенство «слов» в разных «алфавитах». Например, в обозначениях А. А. Маркова запись «U 5+7» — это не число 12, а «слово» из трёх символов: 5, + и 7. Это «слово» полностью совпадает с его записью.