Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, исторически связанные с задачами решения прямоугольных треугольников и выражающие зависимость острых углов от соотношений сторон прямоугольного треугольника (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях математики, естествознания и техники. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно sinα, cosα, tgα, ctgα, secα, cosecα. Используются и другие обозначения, например tanα (для тангенса), cotα, cotgα и ctnα (для котангенса), cscα (для косеканса). Кроме того, к тригонометрическим функциям относят обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс. Обозначаются соответственно arcsinα arctgα, arcctgα, arcsecα, arccosecα.

Тригонометрия — раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций.

Способы определения тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций для острых углов

Прямоугольный треугольник. Рис.1

Говорят, что sinα, cosα, tgα, ctgα — тригонометрические функции острого угла α, который является их аргументом. Для острых углов, величины которых лежат между 0 и ${\frac {\pi }{2}}$​ или между 0° и 90°, значения тригонометрических функций можно определять как отношения сторон прямоугольного треугольника. На рис.1 показан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Для угла α, противолежащего катету a, справедливы следующие равенства:

sinα=${\frac {a}{c}}$​ (синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе). Синус можно рассматривать как «коэффициент сжатия» длины отрезка при наблюдении за ним под углом, то есть насколько укорачивается проекция отрезка при его наклоне на определённый угол;

cosα=${\frac {b}{c}}$​ (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе);

tgα=${\frac {a}{b}}$​ (тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету);

ctgα=${\frac {b}{a}}$​ (котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету).

Кроме того, для острых углов прямоугольного треугольника справедливы следующие равенства:

secα=${\frac {c}{b}}$​ (секансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету).

cosecα=${\frac {c}{a}}$​ (косекансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету).

Определение тригонометрических функций для любых углов

Определение тригонометрических функций. Рис. 2

В тригонометрии угол, который является аргументом тригонометрических функций, обычно выражается в градусах или радианах. Значение аргумента может варьироваться от −∞ до +∞. ​

Для определения тригонометрических функций углов, больших чем ${\frac {\pi }{2}}$ (90°), используют единичную окружность. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса (R=1) с центром в начале координат O (рис. 2). Любой угол будем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча OB (точку B выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B обозначим как $x_{B}$ , а ординату — $y_{B}$. Тригонометрические функции косинус и синус по определению равны декартовым прямоугольным координатам ($x_{B}$​;$y_{B}$​) точки B. Таким образом: ​

• синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности;
• косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности;
• тангенсом угла α называется отношение ординаты точки B единичной окружности к её абсциссе, причём точка B не принадлежит оси ординат;
• котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки B единичной окружности к её ординате, причём точка B не принадлежит оси абсцисс.
  

  Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице. Рис. 3.

На рис. 3 показано представление тригонометрических функций как отрезков, связанных с единичной окружностью:​

sinα=$y_{B}$, cosα=$x_{B}$, tgα=${\frac {y_{B}}{x_{B}}}$, ctgα=${\frac {x_{B}}{y_{B}}}$, secα=${\frac {1}{x_{B}}}$, cosecα=${\frac {1}{y_{B}}}$.​

Точки окружности делятся на четверти (квадранты), в каждой четверти тригонометрические функции имеют определённый знак. Знаки тригонометрических функций приведены в таблице:

Четверть	sinα	cosα	tgα	ctgα	secα	cosecα
I	+	+	+	+	+	+
II	+	-	-	-	-	+
II	-	-	+	+	-	-
IV	-	+	-	-	+	-

Другие случаи определения тригонометрических функций

Определение как решение дифференциальных уравнений

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

$\ \left(\cos x\right)''=-\cos x,$

$\ \left(\sin x\right)''=-\sin x,$

то есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),$

с дополнительными условиями: $R(0)=1$ для косинуса и $R'(0)=1$ для синуса.

Определение как решение функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений

$\left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.$ при дополнительных условиях: $f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ и $0<g(x)<1$ при $0<x<\pi /2$.

Определение тригонометрических функций через ряды

Воспользовавшись теорией рядов Тейлора, синус и косинус можно представить в виде степенны́х рядов:

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$

Пользуясь этими формулами, а также равенствами $\operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},$ $\operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},$ $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$ и $\operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},$ можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

${\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$

${\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}$

${\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$

$\operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),$

где : $B_{n}$ — числа Бернулли, : $E_{n}$ — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («$\infty$» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Радианы	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
Градусы	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\infty$	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$1$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-1$	$\infty$	$1$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$1$	$\infty$	$-1$	$\infty$

Свойства тригонометрических функций

Функция синус

y = sin x:

График синусоидальной функции

• Область определения: D(sin x) = R. R — множество всех действительных чисел
• Множество значений: E(sin x) = [−1; 1]

• Чётность, нечётность: функция нечётная $\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,$

• Период: 2π
• Нули: sin x = 0 при x =πn, n ∈ Z
• Промежутки знакопостоянства: sin x > 0 при x∈ (2πn; π+ 2πn), n∈ Z; sin x < 0 при x ∈ (−π + 2πn; 2πn), n∈ Z

• Промежутки монотонности: функция y = sin x возрастает при x ∈ [$-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n$ ], n∈ Z; убывает при x ∈ [${\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {3\pi }{2}}+2\pi n$], n∈ Z

• Экстремумы: $y_{\min }=-1$ при x= -π/2+ 2πn, n∈ Z; $y_{\max }=1$ при x=π/2+ 2πn, n∈ Z.

Синус — непрерывная функция. Линию, служащую графиком функции y = sin x, называют синусоидой.

Функция косинус

y = cos x:

Функции синус косинус — один период

• Область определения: D(cos x) = R. R — множество всех действительных чисел
• Множество значений: E(cos x) = [−1; 1]

• Чётность, нечётность: функция чётная $\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,$

• Период: 2π

• Нули: cos x = 0 при x =π/2 + πn, n∈ Z
• Промежутки знакопостоянства: cos x > 0 при x ∈ ($-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n$), n∈ Z; cos x < 0 при x ∈ (${\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {3\pi }{2}}+2\pi n$), n∈ Z

• Промежутки монотонности: функция y = cos x возрастает при x ∈ [-π+ 2πn; 2πn], n∈ Z; убывает при x ∈ [2πn; π+ 2πn], n∈ Z

• Экстремумы: $y_{\min }=-1$ при x=π+ 2πn, n∈ Z; $y_{\max }=1$ при x=2πn, n∈ Z.

Косинус — непрерывная функция. Линию, служащую графиком функции y = cos x, называют косинусоидой.

Функция тангенс

y = tg x:

Тангенс

• Область определения: D(tg x) = R/ $\pi /2+\pi n$, где n∈ Z. R — множество всех действительных чисел
• Множество значений: E(tg x) = R

• Чётность, нечётность: функция нечётная $\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,$

• Период: π

• Нули: tg x = 0 при x =π + πn, n∈ Z
• Промежутки знакопостоянства: tg x > 0 при x ∈ ($\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n$), n∈ Z; tg x < 0 при x ∈ ($-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n$), n∈ Z

• Промежутки монотонности: функция y = tg x возрастает на каждом интервале из области определения

• Экстремумов нет.

Функция котангенс

y = ctg x:

Котангенс

• Область определения: D(ctg x) = R/ $\pi n$, где n∈ Z. R — множество всех действительных чисел
• Множество значений: E(ctg x) = R

• Чётность, нечётность: функция нечётная $\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,$

• Период: π

• Нули: ctg x = 0 при x =π/2 + πn, n∈ Z
• Промежутки знакопостоянства: ctg x > 0 при x ∈ (

$\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n$), n∈ Z; ctg x < 0 при x ∈ (

$-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n$), n∈ Z

• Промежутки монотонности: функция y = ctg x убывает на каждом интервале из области определения

• Экстремумов нет.

Функции секанс и косеканс

Некоторые свойства функций секанс и косеканс:

• Область определения: D(sec x) = R кроме x=${\frac {\pi }{2}}+\pi n$, D(cosec x) = R/ $\pi n$, где n∈ Z, R — множество всех действительных чисел

• Множество значений: E(sec x) = E(cosec x) = R кроме-1

• Непрерывность — секанс имеет точки разрыва $\pi /2+\pi k$, где $k$ — любое целое, косеканс имеет точки разрыва $\pi k$, где $k$ — любое целое

• Чётность: секанс — чётные, косеканс — нечетная, то есть:

$\sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,$

$\mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.$

• Периодичность: функции $\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ — периодические с периодом $2\pi$

• Функции секанс и косеканс ни при каких значениях аргумента не равны 0.

Тригонометрические формулы

Представлены некоторые тригонометрические формулы. Основная статья: Тригонометрические тождества

Простейшие тождества

Синус и косинус — это координаты точки на единичной окружности (ордината и абсцисса), соответствующей на единичной окружности углу α, то согласно уравнению единичной окружности ($x^{2}+y^{2}=1$ или теореме Пифагора) для любого $\alpha$ можно записать:

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.$ Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:

$1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {sec} } \,^{2}\alpha ,$

$1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .$

Из определения тангенса и котангенса следует, что

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1.$

Любая тригонометрическая функция может быть представлена через другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом, с точностью до знака (с учётом неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для $0<x<\pi /2$:

	sin	cos	tg	ctg	sec	cosec
$\,\sin x=$	$\,\sin x$	${\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	${\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}{\sec x}}$	${\frac {1}{\operatorname {cosec} x}}$
$\,\cos x=$	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	$\,\cos x$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}$	$\,{\frac {\operatorname {ctg} x}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}$	$\,{\frac {1}{\sec x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{\operatorname {cosec} x}}$
$\,\operatorname {tg} x=$	$\,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	$\,\operatorname {tg} x$	$\,{\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}$
$\,\operatorname {ctg} x=$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	$\,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$	$\,{\frac {1}{\operatorname {tg} x}}$	$\,\operatorname {ctg} x$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}$
$\,\sec x=$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	$\,{\frac {1}{\cos x}}$	$\,{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,\sec x$	$\,{\frac {\operatorname {cosec} x}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}$
$\,\operatorname {cosec} x=$	$\,{\frac {1}{\sin x}}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}{\operatorname {tg} x}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}$	$\,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}$	$\,\operatorname {cosec} x$

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

$f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),$

$f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).$

Здесь $f$ — любая тригонометрическая функция, $g$ — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), $n$ — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол $\alpha$ острый, например:

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha \,,$ или что то же самое: $\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha \,.$

Некоторые формулы приведения:

$\alpha$	${\frac {\pi }{2}}-\alpha$	${\frac {\pi }{2}}+\alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	${\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha$	${\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha$	$2\,\pi -\alpha$
$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Исследование тригонометрических функций в математическом анализе

Разложение в бесконечные произведения

Согласно теореме Вейерштрасса о целых функциях, тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

$\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),$

$\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right).$

Эти соотношения выполняются при любом значении $x$. Эти соотношения выполняются при любом значении $x$.

Непрерывные дроби

Разложение тангенса в непрерывную дробь:

$\mathop {\rm {tg}} x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{\frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}$

Производные и первообразные

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

$(\sin x)'=\cos x\,,$

$(\cos x)'=-\sin x\,,$

$(\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x,$

$(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operatorname {tg} x,$

$(\operatorname {cosec} ~x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.$

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C\,,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C\,,$

$\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C\,,$

$\int \operatorname {cosec} ~x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,{\frac {x}{2}}\right|+C.$

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Формула Эйлера: $e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta$ позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту по аналогии с гиперболическими функциями, или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

$\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};$

$\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz;$

$\operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};$

$\operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};$

$\sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};$

$\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},$ где $i^{2}=-1.$

Соответственно, для вещественного x:

$\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),$

$\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).$

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

$\sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} \,y+i\cos x\,\operatorname {sh} \,y,$

$\cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} \,y-i\sin x\,\operatorname {sh} \,y.$

Все характеристики, которые были упомянуты ранее, справедливы и для тригонометрических функций в комплексном пространстве. Некоторые дополнительные свойства:

• комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
• все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

История названий

Тригонометрические функции можно представить как отрезки, связанные с единичной окружностью, что объясняет происхождение их названий. В латинском языке есть два термина, которые связаны с окружностями: tangens и secans. Первый означает «касательная», а второй — «секущая». Слово «синус» (лат. sinus — пазуха) происходит от арабского «джайб», которое, вероятно, является искажением санскритского слова «джива». В переводе с санскрита «джива» означает «тетива лука». Индийские математики использовали это слово для обозначения синуса. Термины «косинус», «котангенс» и «косеканс» произошли от слова «complementi», которое в переводе означает «дополнение». Например, «косинус» происходит от «complementi sinus», что можно перевести как «синус дополнения». Это связано с тем, что cosα, ctgα и cosecα равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента, который дополняет α до π/2:

cosα = sin(π/2 — α),

ctgα = tg(π/2 — α),

cosecα = sec(π/2 — α).

Термины «косинус» и «котангенс» ввёл английский математик и астроном Гентер в 1620 году. Современные краткие обозначения косинуса впервые употребил И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру в 1739 году. Понятие котангенса было открыто арабским математиком аль-Баттани в IX веке и вновь открыто английским математиком Т. Брадвардином. Современные обозначения синуса введены Уильямом Отредом и Бонавентурой Кавальери и закреплены в трудах Леонарда Эйлера.

В 1583 году датский математик Томас Финке в своей книге «Геометрия круглого» ввёл в обиход понятия «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (от лат. secans — секущий). А термин «тригонометрические функции» был предложен Клюгелем в 1770 году.

Термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс образованы с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга). Д. Бернулли, швейцарский математик, в своих работах, опубликованных в 1729 и 1736 годах, впервые использовал специальные символы для обозначения обратных тригонометрических функций. В 1772 году австрийский математик К. Шерфер и Ж. Лагранж, французский математик и механик, предложили современные обозначения для обратных тригонометрических функций.

Обозначения

Международный стандарт ISO 80000-2 «Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology» предписывает использовать только обозначения tanx,cоtx и аrcscx для тангенс, котангенс и косеканс.

Российский ГОСТ Р 54521-2011 «Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах» также рекомендует использовать обозначения tanx, cоtx и аrcscx для тангенс, котангенс и косеканс вместо tgx, ctgx и cosecx.