Тригонометрические функции

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, исторически связанные с задачами решения прямоугольных треугольников и выражающие зависимость острых углов от соотношений сторон прямоугольного треугольника^[1] (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге^[2]). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях математики, естествознания и техники^[1]. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно sinα, cosα, tgα, ctgα, secα, cosecα. Используются и другие обозначения, например tanα (для тангенса), cotα, cotgα и ctnα (для котангенса), cscα (для косеканса). Кроме того, к тригонометрическим функциям относят обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс. Обозначаются соответственно arcsinα arctgα, arcctgα, arcsecα, arccosecα^[3].

Тригонометрия — раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций.

Способы определения тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций для острых углов

Файл:Sincostan pythagoras triangle.png

Прямоугольный треугольник. Рис.1

Говорят, что sinα, cosα, tgα, ctgα — тригонометрические функции острого угла α, который является их аргументом. Для острых углов, величины которых лежат между 0 и ${\frac {\pi }{2}}$ или между 0° и 90°, значения тригонометрических функций можно определять как отношения сторон прямоугольного треугольника. На рис.1 показан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Для угла α, противолежащего катету a, справедливы следующие равенства^[4]:

sinα= ${\frac {a}{c}}$ (синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе). Синус можно рассматривать как «коэффициент сжатия» длины отрезка при наблюдении за ним под углом, то есть насколько укорачивается проекция отрезка при его наклоне на определённый угол;

cosα=Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {b}{c}}} (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе);

tgα= ${\frac {a}{b}}$ (тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету);

ctgα= ${\frac {b}{a}}$ (котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету).

Кроме того, для острых углов прямоугольного треугольника справедливы следующие равенства^[3]:

secα=Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {c}{b}}} (секансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету).

cosecα=Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {c}{a}}} (косекансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету).

Определение тригонометрических функций для любых углов

Файл:TrigonFunctionsDefinition.gif

Определение тригонометрических функций. Рис. 2

В тригонометрии угол, который является аргументом тригонометрических функций, обычно выражается в градусах или радианах. Значение аргумента может варьироваться от −∞ до +∞^[3].

Для определения тригонометрических функций углов, больших чем ${\frac {\pi }{2}}$ (90°), используют единичную окружность. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса (R=1) с центром в начале координат O (рис. 2). Любой угол будем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча OB (точку B выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B обозначим как $x_{B}$ , а ординату — Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle y_{B}} . Тригонометрические функции косинус и синус по определению равны декартовым прямоугольным координатам ( $x_{B}$ ; $y_{B}$ ) точки B. Таким образом^[5]:

синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности;
косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности;
тангенсом угла α называется отношение ординаты точки B единичной окружности к её абсциссе, причём точка B не принадлежит оси ординат;
котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки B единичной окружности к её ординате, причём точка B не принадлежит оси абсцисс.
Файл:Trigonometric function.svg
Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице. Рис. 3.

На рис. 3 показано представление тригонометрических функций как отрезков, связанных с единичной окружностью:

sinα= $y_{B}$ , cosα= $x_{B}$ , tgα= ${\frac {y_{B}}{x_{B}}}$ , ctgα=Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {x_{B}}{y_{B}}}} , secα= ${\frac {1}{x_{B}}}$ , cosecα=Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {1}{y_{B}}}} .

Точки окружности делятся на четверти (квадранты), в каждой четверти тригонометрические функции имеют определённый знак. Знаки тригонометрических функций приведены в таблице^[3]:


Четверть	sinα	cosα	tgα	ctgα	secα	cosecα
I	+	+	+	+	+	+
II	+	-	-	-	-	+
II	-	-	+	+	-	-
IV	-	+	-	-	+	-

Другие случаи определения тригонометрических функций

Определение как решение дифференциальных уравнений

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \ \left(\cos x\right)''=-\cos x,}

\ \left(\sin x\right)''=-\sin x,

то есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}

с дополнительными условиями: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle R(0)=1} для косинуса и $R'(0)=1$ для синуса.

Определение как решение функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений^[6]

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.} при дополнительных условиях: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,} $g(\pi /2)=1,$ и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0<g(x)<1} при Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0<x<\pi /2} .

Определение тригонометрических функций через ряды

Воспользовавшись теорией рядов Тейлора, синус и косинус можно представить в виде степенны́х рядов:

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}

Пользуясь этими формулами, а также равенствами Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},} $\operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},$ Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},} можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

{\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}

\operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),

где : Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle B_{n}} — числа Бернулли, : Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle E_{n}} — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. (« $\infty$ » означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Радианы	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}	$2\pi$
Градусы	$0^{\circ }$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 30^{\circ }}	$45^{\circ }$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 60^{\circ }}	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 90^{\circ }}	$180^{\circ }$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 270^{\circ }}	$360^{\circ }$
Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \sin \alpha }	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 1}	$0$	$-1$	$0$
Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \cos \alpha }	$1$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{3}}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{3}}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sec \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -1}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{cosec}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -1}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty}

Свойства тригонометрических функций

Функция синус

y = sin x^[7]:

Файл:Graph der Sinusfunktion.svg

График синусоидальной функции

Область определения: D(sin x) = R. R — множество всех действительных чисел
Множество значений: E(sin x) = [−1; 1]

Чётность, нечётность: функция нечётная Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,}

Период: 2π
Нули: sin x = 0 при x =πn, n ∈ Z
Промежутки знакопостоянства: sin x > 0 при x∈ (2πn; π+ 2πn), n∈ Z; sin x < 0 при x ∈ (−π + 2πn; 2πn), n∈ Z

Промежутки монотонности: функция y = sin x возрастает при x ∈ [Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n} ], n∈ Z; убывает при x ∈ [Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n} ], n∈ Z

Экстремумы: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_\min = -1} при x= -π/2+ 2πn, n∈ Z; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_\max = 1} при x=π/2+ 2πn, n∈ Z.

Синус — непрерывная функция. Линию, служащую графиком функции y = sin x, называют синусоидой.

Функция косинус

y = cos x^[7]:

Файл:Sine cosine one period.svg

Функции синус косинус — один период

Область определения: D(cos x) = R. R — множество всех действительных чисел
Множество значений: E(cos x) = [−1; 1]

Чётность, нечётность: функция чётная Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,}

Период: 2π

Нули: cos x = 0 при x =π/2 + πn, n∈ Z
Промежутки знакопостоянства: cos x > 0 при x ∈ (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n} ), n∈ Z; cos x < 0 при x ∈ (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n} ), n∈ Z

Промежутки монотонности: функция y = cos x возрастает при x ∈ [-π+ 2πn; 2πn], n∈ Z; убывает при x ∈ [2πn; π+ 2πn], n∈ Z

Экстремумы: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_\min = -1} при x=π+ 2πn, n∈ Z; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_\max = 1} при x=2πn, n∈ Z.

Косинус — непрерывная функция. Линию, служащую графиком функции y = cos x, называют косинусоидой.

Функция тангенс

y = tg x^[7]:

Тангенс

Область определения: D(tg x) = R/ Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/2+\pi n} , где n∈ Z. R — множество всех действительных чисел
Множество значений: E(tg x) = R

Чётность, нечётность: функция нечётная Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,}

Период: π

Нули: tg x = 0 при x =π + πn, n∈ Z
Промежутки знакопостоянства: tg x > 0 при x ∈ (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n} ), n∈ Z; tg x < 0 при x ∈ (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n} ), n∈ Z

Промежутки монотонности: функция y = tg x возрастает на каждом интервале из области определения

Экстремумов нет.

Функция котангенс

y = ctg x^[7]:

Файл:Cotangent.svg

Котангенс

Область определения: D(ctg x) = R/ Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi n} , где n∈ Z. R — множество всех действительных чисел
Множество значений: E(ctg x) = R

Чётность, нечётность: функция нечётная Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,}

Период: π

Нули: ctg x = 0 при x =π/2 + πn, n∈ Z
Промежутки знакопостоянства: ctg x > 0 при x ∈ (

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n} ), n∈ Z; ctg x < 0 при x ∈ (

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n} ), n∈ Z

Промежутки монотонности: функция y = ctg x убывает на каждом интервале из области определения

Экстремумов нет.

Функции секанс и косеканс

Некоторые свойства функций секанс и косеканс^[7]:

Область определения: D(sec x) = R кроме x=Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi}{2} +\pi n} , D(cosec x) = R/ Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi n} , где n∈ Z, R — множество всех действительных чисел

Множество значений: E(sec x) = E(cosec x) = R кроме-1

Непрерывность — секанс имеет точки разрыва Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/2+\pi k} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} — любое целое, косеканс имеет точки разрыва Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi k} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} — любое целое

Чётность: секанс — чётные, косеканс — нечетная, то есть:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.}

Периодичность: функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sec x,\; \mathrm{cosec}\, x} — периодические с периодом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\pi}

Функции секанс и косеканс ни при каких значениях аргумента не равны 0.

Тригонометрические формулы

Представлены некоторые тригонометрические формулы. Основная статья: Тригонометрические тождества

Простейшие тождества

Синус и косинус — это координаты точки на единичной окружности (ордината и абсцисса), соответствующей на единичной окружности углу α, то согласно уравнению единичной окружности (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2+y^2=1} или теореме Пифагора) для любого Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} можно записать:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.} Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \mathop{\mathrm{sec}}\,^2 \alpha,}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \mathop{\mathrm{cosec}}\,^2 \alpha.}

Из определения тангенса и котангенса следует, что

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.}

Любая тригонометрическая функция может быть представлена через другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом, с точностью до знака (с учётом неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<x<\pi/2} :

	sin	cos	tg	ctg	sec	cosec
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\sin x = }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\sin x }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{1-\cos^2 x } }	${\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}{\sec x}}}	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {cosec} x}}}
$\,\cos x=$	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}	Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \,\cos x}	$\,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}$	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\operatorname{ctg} x } {\sqrt{\operatorname{ctg}^2 x + 1}} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\sec x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 x -1}}{\operatorname{cosec} x } }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \operatorname{tg} x = }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\sin x }{\sqrt{1-\sin^2 x }} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\sqrt{1-\cos^2 x }}{\cos x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \operatorname{tg} x }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\operatorname{ctg} x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \sqrt{\sec^2 x - 1} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{ \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x -1}} }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \operatorname{ctg}x = }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\sqrt{1-\sin^2 x }}{\sin x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\cos x }{\sqrt{1-\cos^2 x }} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\operatorname{tg} x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \operatorname{ctg}x }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\sqrt{\sec^2 x - 1}} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - 1} }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \sec x = }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x }} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\cos x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\sqrt{\operatorname{ctg}^2 x + 1}}{\operatorname{ctg} x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \sec x }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\operatorname{cosec} x }{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - 1}} }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \operatorname{cosec} x = }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\sin x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 x }} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x }} {\operatorname{tg} x } }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x + 1} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \frac{\sec x }{\sqrt{\sec^2 x - 1}} }	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \, \operatorname{cosec} x }

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида^[8]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f ( n \pi + \alpha ) = \pm f (\alpha),}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha),}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right) = \pm g (\alpha),}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right) = \pm g (\alpha).}

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} — любая тригонометрическая функция, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} острый, например:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,} или что то же самое: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.}

Некоторые формулы приведения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi}{2} - \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi}{2} + \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi - \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi + \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{3\,\pi}{2} - \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{3\,\pi}{2} + \alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\pi - \alpha}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sin\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\cos\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\cos\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sin\alpha}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sin\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\cos\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\cos\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sin\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\alpha}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{tg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{tg}\,\alpha}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{tg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ctg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{tg}\,\alpha}	Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\operatorname{ctg}\,\alpha}

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла^[9]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}.}

Исследование тригонометрических функций в математическом анализе

Разложение в бесконечные произведения

Согласно теореме Вейерштрасса о целых функциях, тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов^[10]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin x=x\,\prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{\pi ^2n^2} \right),}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos x = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{\pi^2(2n+1)^2} \right). }

Эти соотношения выполняются при любом значении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} . Эти соотношения выполняются при любом значении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} .

Непрерывные дроби

Разложение тангенса в непрерывную дробь:

\mathop {\rm {tg}} x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{\frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Производные и первообразные

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения^[11]:

$(\sin x)'=\cos x\,,$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,,}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x,}

$(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x,$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle (\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operatorname {tg} x,}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle (\operatorname {cosec} ~x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.}

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом^[12]:

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C\,,$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C\,,}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,}

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C\,,}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \int \operatorname {cosec} ~x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,{\frac {x}{2}}\right|+C.}

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Формула Эйлера: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta } позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту по аналогии с гиперболическими функциями, или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов^[13]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} i z }{i}; }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z; }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})}; }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}}; }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}}; }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},} где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i^2=-1.}

Соответственно, для вещественного x:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}),}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}).}

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y.}

Все характеристики, которые были упомянуты ранее, справедливы и для тригонометрических функций в комплексном пространстве. Некоторые дополнительные свойства:

комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

История названий

Тригонометрические функции можно представить как отрезки, связанные с единичной окружностью, что объясняет происхождение их названий. В латинском языке есть два термина, которые связаны с окружностями: tangens и secans. Первый означает «касательная», а второй — «секущая»^[3]. Слово «синус» (лат. sinus — пазуха) происходит от арабского «джайб», которое, вероятно, является искажением санскритского слова «джива». В переводе с санскрита «джива» означает «тетива лука». Индийские математики использовали это слово для обозначения синуса. Термины «косинус», «котангенс» и «косеканс» произошли от слова «complementi», которое в переводе означает «дополнение». Например, «косинус» происходит от «complementi sinus», что можно перевести как «синус дополнения»^[14]. Это связано с тем, что cosα, ctgα и cosecα равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента, который дополняет α до π/2:

cosα = sin(π/2 — α),

ctgα = tg(π/2 — α),

cosecα = sec(π/2 — α)^[3].

Термины «косинус» и «котангенс» ввёл английский математик и астроном Гентер в 1620 году. Современные краткие обозначения косинуса впервые употребил И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру в 1739 году. Понятие котангенса было открыто арабским математиком аль-Баттани в IX веке и вновь открыто английским математиком Т. Брадвардином^[15]. Современные обозначения синуса введены Уильямом Отредом и Бонавентурой Кавальери и закреплены в трудах Леонарда Эйлера^[14]^[16].

В 1583 году датский математик Томас Финке в своей книге «Геометрия круглого» ввёл в обиход понятия «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (от лат. secans — секущий). А термин «тригонометрические функции» был предложен Клюгелем в 1770 году^[17].

Термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс образованы с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга)^[18]. Д. Бернулли, швейцарский математик, в своих работах, опубликованных в 1729 и 1736 годах, впервые использовал специальные символы для обозначения обратных тригонометрических функций. В 1772 году австрийский математик К. Шерфер и Ж. Лагранж, французский математик и механик, предложили современные обозначения для обратных тригонометрических функций^[19]^[16].

Обозначения

Международный стандарт ISO 80000-2 «Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology» предписывает использовать только обозначения tanx,cоtx и аrcscx для тангенс, котангенс и косеканс.

Российский ГОСТ Р 54521-2011 «Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах» также рекомендует использовать обозначения tanx, cоtx и аrcscx для тангенс, котангенс и косеканс вместо tgx, ctgx и cosecx.

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия. Изд. 3-е, стер.. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 8. — 177 с.
↑ Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. — М.: «Высшая школа», 1967. — С. 28—31. — 536 с.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Тригонометрические функции (неопр.). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 14 августа 2025.
↑ Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия. Изд. 3-е, стер.. — .: , . — С. 8. — с.. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 8—10. — 177 с.
↑ Цыпкин А.Г. Краткий справочник по математике: курс средней школы. — М.: Наука, 1983. — С. 243. — 482 с.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — М.: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 Цыпкин А.Г. Краткий справочник по математике: курс средней школы. — М.: Наука, 1983. — С. 244—248. — 482 с.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1975. — С. 416. — 355 с.
↑ Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия. Изд. 3-е, стер. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 86—87. — 177 с.
↑ Маркушевич А.И. Целые функции. — М.: Наука, 1975. — С. 110. — 122 с.
↑ Корн Г., Корн Т. Фундаментальные и общие проблемы математики. — М.: Наука, 1973. — С. 108. — 832 с.
↑ Маслова Т.Н. Справочник школьника по математике. — М.: Мир и образование, 2008. — С. 339. — 672 с.
↑ Н.В. Гредасова, Н.И. Желонкина, М.А. Корешникова, Л.В. Корчемкина, В.И. Зенков. Теория функций комплексного переменного : учеб. пособие. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2018. — С. 19—20. — 128 с. — ISBN 978-5-7996-2472-9.
↑ ^14,0 ^14,1 Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 169. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 84. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ ^16,0 ^16,1 Математические знаки (неопр.). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 14 августа 2025.
↑ Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 179. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 16. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Обратные тригонометрические функции (неопр.). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 14 августа 2025.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия. Изд. 3-е, стер.. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 8. — 177 с.

[2] Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. — М.: «Высшая школа», 1967. — С. 28—31. — 536 с.

[:1-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Тригонометрические функции (неопр.). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 14 августа 2025.

[4] Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия. Изд. 3-е, стер.. — .: , . — С. 8. — с.. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 8—10. — 177 с.

[5] Цыпкин А.Г. Краткий справочник по математике: курс средней школы. — М.: Наука, 1983. — С. 243. — 482 с.

[6] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — М.: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.

[:4-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 Цыпкин А.Г. Краткий справочник по математике: курс средней школы. — М.: Наука, 1983. — С. 244—248. — 482 с.

[8] Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1975. — С. 416. — 355 с.

[9] Бермант А.Ф., Люстерник Л.А. Тригонометрия. Изд. 3-е, стер. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 86—87. — 177 с.

[10] Маркушевич А.И. Целые функции. — М.: Наука, 1975. — С. 110. — 122 с.

[11] Корн Г., Корн Т. Фундаментальные и общие проблемы математики. — М.: Наука, 1973. — С. 108. — 832 с.

[12] Маслова Т.Н. Справочник школьника по математике. — М.: Мир и образование, 2008. — С. 339. — 672 с.

[13] Н.В. Гредасова, Н.И. Желонкина, М.А. Корешникова, Л.В. Корчемкина, В.И. Зенков. Теория функций комплексного переменного : учеб. пособие. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2018. — С. 19—20. — 128 с. — ISBN 978-5-7996-2472-9.

[:2-14] 14,0 ^14,1 Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 169. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[15] Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 84. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[:3-16] 16,0 ^16,1 Математические знаки (неопр.). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 14 августа 2025.

[17] Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 179. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[18] Александрова Н.Я. История математических терминов, понятий, обозначений. — М.: ЛКИ, 2008. — С. 16. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[19] Обратные тригонометрические функции (неопр.). Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 14 августа 2025.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

Тригонометрия
Общее	Обзор тригонометрии История Использование Функции Обратные Редко используемые Обобщённая тригонометрия
Справочник	Тождества Точные константы Таблицы Единичная окружность
Законы и теоремы	Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников
Математический анализ	Тригонометрическая подстановка Интегралы (обратные функции) Производные