Анализ (раздел математики)

Ана́лиз — синтез разделов математики, берёт основу в классическом математическом анализе. Составляет обширную часть математики. Включает: введение в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, теория функций действительного переменного, комплексный анализ, приближение функций, теория интегральных уравнений, функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление.

Сейчас существует три направления математики: алгебра, геометрия и анализ.

История

Веком появления математического анализа принято считать XVII век. В математике появились группы задач и способы решения для использования в разных частных случаях. Иоганн Кеплер в книге «Стереометрия винных бочек» 1615 года рассчитывал объемы тел, которые получались при вращении конических сечений вокруг оси, лежащей с ними в одной плоскости. Бонавентура Кавальери в 1635 году в «Геометрии» сделал упрощенную разновидность исчисления бесконечно малых величин. Он выполнял вычисления, которые были равносильны интегрированию многочленов, пользуясь «Принципом Кавальери». Многие задачи были связаны с описанием произвольного механического движения, с счётом его мгновенных характеристик: ускорение и скорость. Математическое изучение движения было описано Галилео Галилеем и его учениками Торричелли, Кавальери. В 1637 году появилась «Геометрия» Рене Декарта, где описана основа аналитического метода координат. Это дало толчок к формированию разнородных задач на языке числовых функций. Пьер Ферма открыл метод нахождения максимумов и минимумов. В этой области работали Б. Паскаль, Д. Валлис, Д. Грегори и многие другие. Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо создали анализ и опубликовали его в печати. Ньютон формирует метод флюксий (производных) и флюэнт (Лейбниц назвал их дифференциалами). Лейбниц предлагает свой вариант дифференциального и интегрального исчисления, вводит символику, сохранившуюся до наших дней: знаки для дифференциала, интеграла, производной.

О. Л. Коши в начале XIX века была создана теория пределов. В XIX-XX веках получили развитие теории множеств, теории функций действительного переменного, теории меры. В конце XX века был введён нестандартный анализ.

Классический математический анализ

Классический математический анализ — раздел математики, изучающий производные и дифференциалы функций, применения их при исследовании функций. Были оформлены в самостоятельную математическую дисциплину благодаря работам И. Ньютона и Г. Лейбница во второй половине XVII века. Они показали взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. Это основная часть анализа (или анализа бесконечно малых). В классическом анализе изучаются функции. Термин «математический анализ» сейчас используется в учебниках.

Теория функций вещественной переменной

Теория функций вещественной переменной — часть анализа, которая предусматривает глубокое рассмотрение понятий производной и интеграла. Некоторые факты были открыты в XIX веке, но в математическом анализе им не нашлось объяснения. Теория стала одним из этапов развития анализа. Одним из достижений было создание А. Лебегом теории интегрирования. На эту теорию опирается современная математическая физика.

Примечания

Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!