Анализ (раздел математики)

Ана́лиз — синтез разделов математики, берёт основу в классическом математическом анализе. Составляет обширную часть математики. Включает: введение в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, теория функций действительного переменного, комплексный анализ, приближение функций, теория интегральных уравнений, функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление.

Сейчас существует три направления математики: алгебра, геометрия и анализ.

История

Веком появления математического анализа принято считать XVII век. В математике появились группы задач и способы решения для использования в разных частных случаях. Иоганн Кеплер в книге «Стереометрия винных бочек» 1615 года рассчитывал объемы тел, которые получались при вращении конических сечений вокруг оси, лежащей с ними в одной плоскости. Бонавентура Кавальери в 1635 году в «Геометрии» сделал упрощенную разновидность исчисления бесконечно малых величин. Он выполнял вычисления, которые были равносильны интегрированию многочленов, пользуясь «Принципом Кавальери». Многие задачи были связаны с описанием произвольного механического движения, с счётом его мгновенных характеристик: ускорение и скорость. Математическое изучение движения было описано Галилео Галилеем и его учениками Торричелли, Кавальери. В 1637 году появилась «Геометрия» Рене Декарта, где описана основа аналитического метода координат. Это дало толчок к формированию разнородных задач на языке числовых функций. Пьер Ферма открыл метод нахождения максимумов и минимумов. В этой области работали Б. Паскаль, Д. Валлис, Д. Грегори и многие другие. Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо создали анализ и опубликовали его в печати. Ньютон формирует метод флюксий (производных) и флюэнт (Лейбниц назвал их дифференциалами). Лейбниц предлагает свой вариант дифференциального и интегрального исчисления, вводит символику, сохранившуюся до наших дней: знаки для дифференциала, интеграла, производной.

О. Л. Коши в начале XIX века была создана теория пределов. В XIX-XX веках получили развитие теории множеств, теории функций действительного переменного, теории меры. В конце XX века был введён нестандартный анализ.

Классический математический анализ

Классический математический анализ — раздел математики, изучающий производные и дифференциалы функций, применения их при исследовании функций. Были оформлены в самостоятельную математическую дисциплину благодаря работам И. Ньютона и Г. Лейбница во второй половине XVII века. Они показали взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. Это основная часть анализа (или анализа бесконечно малых). В классическом анализе изучаются функции. Термин «математический анализ» сейчас используется в учебниках.

Теория функций вещественной переменной

Теория функций вещественной переменной — часть анализа, которая предусматривает глубокое рассмотрение понятий производной и интеграла. Некоторые факты были открыты в XIX веке, но в математическом анализе им не нашлось объяснения. Теория стала одним из этапов развития анализа. Одним из достижений было создание А. Лебегом теории интегрирования. На эту теорию опирается современная математическая физика.