Дискретная математика
| Наука | |
| Дискретная математика | |
|---|---|
| Дискретный анализ | |
 | |
| Тема | Математика |
| Предмет изучения | Дискретные структуры |
| Основные направления |
Математическая логика, Теория графов, Комбинаторика, Теория алгоритмов, Теория автоматов |
| Значительные учёные |
Леонард Эйлер, Готфрид Лейбниц, Джордж Булль, Алан Тьюринг, Андрей Николаевич Колмогоров |
 Медиафайлы на Викискладе | |
Дискре́тная матема́тика — раздел математики, изучающий дискретные структуры. К таким структурам относят объекты, основные характеристики которых являются конечными или счётными, например, конечные и бесконечные графы, конечные и бесконечные автоматы. Часть дискретной математики, изучающую конечные объекты, принято называть конечной математикой[1][2].
История дискретной математики
Элементы дискретной математики появились ещё в древности. С древнейших времён известны задачи, связанные с перебором комбинаций. Некоторые из них сохранились в занимательной математике в виде головоломок. В те же времена были изобретены системы представления чисел и алгоритмы выполнения арифметических действий. Кроме того, были распространены дискретные вычислительные приспособления, например, счёты, абак. Древние египтяне разрабатывали алгоритмы сложения и умножения натуральных чисел. Пифагорейцы изучали вопросы делимости и задачи суммирования. В более позднее время возникали вопросы с разрешимостью уравнений в целых числах. Наиболее известными учёными на этом этапе развития дискретной математики были Пифагор, Евклид, Диофант, Эратосфен[1][3].
Первые значительные работы в области комбинаторного анализа появились в XVII—XVIII веке. В это время произошла систематизация комбинаторных задач. В 1665 году появился «Трактат об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля. К XVII веку относятся также работы Готфрида Лейбница. Затем, уже в XVIII веке, был опубликован значительный труд Якоба Бернулли «Искусство предположений», посвящённый в основном теории вероятностей. В одной из глав этой работы рассматриваются вопросы, связанные с перестановками и сочетаниями. В XVIII веке значительное развитие получает теория графов, основоположником которой считается Леонард Эйлер[4][5].
В XVIII—XIX веке появились такие важные понятия алгебры, имеющие дискретную структуру, как группа, кольцо и поле. В XIX веке в области дискретной математики работали такие известные математики, как Камиль Жордан, Жозеф Лагранж, Нильс Абель и многие другие[1][6].
В XIX—XX веках в связи с вопросами строгости математических рассуждений и анализа математических методов выделился ещё один раздел дискретной математики — математическая логика. Её основоположником считается Джордж Буль, именем которого назван раздел математической логики — булева алгебра[7].
Значение дискретной математики в XX веке проявилось в связи с возникновением и дальнейшим развитием представлений о дискретной природе окружающей реальности (квантовая и статистическая физика, атомно-молекулярная теория). В это время на развитие дискретной математики оказали существенное влияние труды Анри Пуанкаре, Давида Гильберта, Алана Тьюринга и других[3].
Значительное развитие дискретной математике во второй половине XX века связано с «цифровой революцией» в вычислительной технике и области телекоммуникаций. Эта наука стала основой для проектирования и применения различных цифровых электронных устройств. Важнейшие достижения в это время были совершены Владимиром Александровичем Котельниковым, Клодом Шенноном, Виктором Ивановичем Шестаковым[3].
Возникновение в XX веке новой науки — кибернетики — привело к появлению новых разделов дискретной математики. К ним относятся теория сложности, теория тестов, теория надёжности схем, теория автоматов. Важнейшие разработки в этой области принадлежат Джону фон Нейману, Алексею Андреевичу Ляпунову, Сергею Всеволодовичу Яблонскому, Олегу Борисовичу Лупанову[1][3].
Предмет и метод дискретной математики
Дискретная математика изучает объекты, имеющие дискретную природу. Однако деление на дискретную и непрерывную математику можно считать весьма условным. Во-первых, это связано с тем, что некоторые объекты имеют смешанные свойства, то есть одновременно и дискретные, и непрерывные. Во-вторых, как методы непрерывной математики могут использоваться в дискретной, так и наоборот. Например, в алгебраической геометрии используются дискретные модели. Примером использования в дискретной математике непрерывных моделей может служить применение асимптотических методов в теории чисел или использование производящих функций в комбинаторных задачах[1][8].
В связи со спецификой в ряде разделов дискретной математики необходимо отказываться от понятий предела и непрерывности. Поэтому некоторые методы классической математики в дискретной становятся неприменимыми[1].
Разделами дискретной математики являются теория графов и теория кодирования, теория функциональных и теория управляющих систем, теория алгоритмов и теория автоматов, а также комбинаторный анализ и математическая логика. Кроме того, к дискретному анализу относятся части других разделов математики, как, например, теория чисел, алгебра, теория вероятностей, где рассматриваются объекты, имеющие дискретную природу[1].
Основными факторами, определяющими роль дискретной математики, являются следующие. Язык дискретной математики является очень удобным и стал основным в математике. Модели и методы дискретной математики оказались удобным средством для построения моделей и методов в других дисциплинах. Они используются в химии, биологии, физике, психологии, социологии и других областях знаний. Кроме того, дискретная математика является фундаментом для компьютерной математики и её теоретической базой[9].
Дискретная математика в XXI веке
В XXI веке дискретная математика широко применяется в различных областях науки и техники. Она является базой для информатики. С помощью таких её разделов, как математическая логика, теория предикатов, теория алгоритмов, стало возможным структурировать и алгоритмизировать накопленные знания. Математическая логика широко применяется в биологии, медицине, лингвистике, экономике и других сферах. Кроме того, она является основой для вычислительной техники[10][11].
Другой раздел дискретной математики — теория графов — широко применяется в математическом моделировании. В частности, с помощью теории графов можно построить оптимальные маршруты и описать потоки, что важно, например, в сетевом планировании. Кроме того, теория графов применяется в медицинских исследованиях. Комбинаторика является важной частью создания нейронных сетей и других разделов интеллектуального анализа данных. Ряд разделов дискретной математики используется в криптографии. Кроме того, дискретная математика является основой для построения многих электронных приборов[10][12][13].
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Кудрявцев В. Б. Дискретная математика. БРЭ. Дата обращения: 5 декабря 2025.
- ↑ Спирина М. С., Спирин П. А. Дискретная математика. — Москва: Издательский центр «Академия», 2004. — 368 с. — ISBN 5-7695-1496-5.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Фирсова Е. В. История развития дискретной математики и ее роль в обучении информатиков-экономистов // Молодой ученый : журнал. — 2012. — № 2 (37). — С. 304—311. — ISSN 2072-0297.
- ↑ Алябьева В. Г. Развитие комбинаторного метода в математике в XIX веке // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика : журнал. — 2015. — № 3 (30). — С. 63—70. — ISSN 1993-0550.
- ↑ Мациевский С. В., Квитко Г. В. К истории теории графов. Зарождение // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Серия: Физико-математические и технические науки : журнал. — 2021. — № 4. — С. 23—33. — ISSN 2500-0403.
- ↑ Халатян К. А., Никитина П. В. Дискретная математика // Вестник науки : журнал. — 2019. — № 1 (10). — С. 43—45. — ISSN 2712-8849.
- ↑ Посохова А. Джордж Буль – отец математической логики. Электронное периодическое издание «Научная Россия» (2 ноября 2020). Дата обращения: 5 декабря 2025.
- ↑ Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. — 2-е, дополненное издание. — Москва: Техносфера, 2005. — С. 345—359. — 400 с. — ISBN 5-94836-016-4.
- ↑ Ерусалимский Я. М. Дискретная математика. Теория и практикум. — Москва: Лань, 2018. — С. 9. — 476 с. — ISBN 978-5-8114-2908-0.
- ↑ 10,0 10,1 Чигин Е. Е. Дискретная математика и информатика // Научное обозрение. Педагогические науки. — 2019. — № 4-3. — С. 84—86. — ISSN 2500-3402.
- ↑ Подлевских М. Н., Шилова З. В. Методы и модели дискретной математики в биологии // Математический вестник Вятского государственного университета : журнал. — 2017. — № 3. — ISSN 2782-2672.
- ↑ Farahani F. V., Karwowski W., Lighthall N. R. Application of Graph Theory for Identifying Connectivity Patterns in Human Brain Networks: A Systematic Review (англ.) // Frontiers in Neuroscience : журнал. — 2019. — 6 June (vol. 13, no. 585). — doi:10.3389/fnins.2019.00585.
- ↑ Плотников Д. Ю., Аглиуллина С. Т., Аглиуллин Д. Р. Применение ориентированных ациклических графов при планировании клинических и эпидемиологических исследований // Медицинские технологии. Оценка и выбор : журнал. — 2023. — № 1 (45). — С. 27—31. — doi:10.17116/medtech20234501127.