Методы дифференцирования функций

Наука
Математика
Тема	Методы дифференцирования функций
Предмет изучения	действия с производными функций
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Ме́тоды дифференци́рования фу́нкций — одни из важнейших инструментов математического анализа. Они широко используются при нахождении производных функций для более простого исследования закономерностей в различных областях науки: математике, физике, химии, географии, информатике и экономике. Дифференцирование позволяет вычислить скорость изменения функции в каждой точке её области определения, употребляется в формулах на определение физических величин, изменяющихся с течением времени, в расчётах доз лекарств, численности людей, а также для оптимизации алгоритмов и анализа производственных графиков.

История

История развития методов дифференцирования неразрывно связана с формированием дифференциального исчисления как самостоятельной математической дисциплины во второй половине XVII века. Этот период характеризовался значительными достижениями в области математического анализа, которые стали основой для дальнейшего развития науки. Правила дифференцирования формировались постепенно. В 1666 году Исаак Ньютон создал метод флюксий, в основе которого лежали понятия производной (флюксии) и неопределённого интеграла (флюенты).

В середине 1670-х годов Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал алгоритмы дифференциального исчисления, введя обозначения дифференциала и интеграла, а также термин «дифференциальное исчисление». Он сформулировал ряд правил дифференцирования и предложил удобную символику. В XVIII веке Леонард Эйлер представил дифференциальное исчисление как аналитическую дисциплину, независимую от геометрии и механики. Он вновь использовал производную в качестве основного понятия дифференциального исчисления.

Жозеф-Луи Лагранж попытался построить дифференциальное исчисление на алгебраической основе, используя разложения функций в степенные ряды. Он ввёл термин «производная» и соответствующие обозначения. В начале XIX века работы Огюстена Луи Коши, Бернарда Больцано и Карла Фридриха Гаусса позволили в основном решить задачу обоснования дифференциального исчисления на основе теории пределов. В начале XX века глубокий анализ исходных понятий дифференциального исчисления был связан с развитием теории множеств и теории функций действительных переменных.

Нахождение производных

Нахождение производных составляет основу дифференциального исчисления. В частности оно осуществляется благодаря таблице производных, списку формул, которых вполне достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производная некоторой постоянной величины С будет обращаться в ноль: C' = 0.

Производная степенной функции с переменной х в основании и показателем степени n будет вычисляться по следующему алгоритму: $(x^{n})'=n\cdot x^{n-1}$

Здесь можно выделить частный случай, а именно производную из-под корневого выражения – переменной х, которая в показателе степени будет иметь дробь: ${\sqrt[{n}]{x}}={1 \over 2{\sqrt[{n}]{x}}}$

А производная показательной функции с переменной х в показателе степени и некоторой величины а в основании будет определяться иным образом: $(a^{x})'=a^{x}\cdot \ln a$

Использование натурального логарифма обусловлено тем, что показательная и логарифмическая функция связаны друг с другом, а потому с тем же основанием образуют пару взаимно обратных функций.

Производная экспоненциальной функции будет равна исходной функции: $(e^{x})'=e^{x}$

Такое условие производной экспоненты обусловлено свойством числа в основании данной функции, то есть числа Эйлера, специально подобранного так, чтобы выполнялось это равенство.

Производные логарифмических функций будут находиться по следующему алгоритму: $(\log _{a})'x={1 \over x\cdot \ln a}$

Производная натурального логарифма равна обратному значению аргумента: $(\ln x)'={1 \over x}$

Производные тригонометрических функций обладают рядом нескольких свойств:

Например, производная синуса и косинуса являются тригонометрическими функциями. Например, производная синуса составляет косинус. $(\sin x)'=\cos x$

А в свою очередь производная косинуса будет равна синусу, умноженному на -1: $(\cos x)'=-\sin x$

Если рассматривать производные тангенса и котангенса, стоит отметить, что сами по себе данные тригонометрические функции являются отношениями соответственно синуса к косинусу и косинуса к синусу. Следовательно, логично, что в данном случае будет иметь место производная частного при дифференцировании элементарный функций. И исходя из этого:

Производная тангенса: $(tgx)'={1 \over \cos ^{2}x}$

Производная котангенса: $(ctgx)'=-{1 \over \sin ^{2}x}$

Также в тригонометрии существуют такие понятия обратных тригонометрических функций – арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, которые решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Их можно найти с помощью такого метода, как неявного дифференцирования. Согласно этому:

Производная арксинуса: $(\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Производная арккосинуса: $(\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Производная арктангенса: $(arctgx)'={1 \over 1+x^{2}}$

Производная арккотангенса: $(arcctgx)'=-{1 \over 1+x^{2}}$

Методы

Дифференцирование элементарных функций

Для основных элементарных функций, таких как экспоненциальная и логарифмическая функции, а также тригонометрические функции, существуют установленные правила дифференцирования, позволяющие определить их производные. Например, производная суммы равна сумме производных, производная произведения вычисляется через определённый алгоритм и так далее.

Эти правила обобщают законы дифференцирования для различных классов функций:

1. Постоянный множитель – коэффициент С при переменной х можно вынести за знак производной: $(\complement \cdot x)'=\complement \cdot (x)'$
2. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: $(x\pm y)'=x'\pm y'$
3. Производная произведения: $(x\cdot y)'=x'\cdot y+x\cdot y'$
4. Производная частного: $({x \over y})'={x'\cdot y-x\cdot y' \over y^{2}}$

Дифференцирование неявных функций

Под неявным заданием функции понимается задание функции в форме уравнения F(x, y) = 0, которое не разрешено относительно переменной y. Этот метод требует применения правила дифференцирования сложной функции и может быть достаточно сложным для некоторых функций.

Если функция задана неявно уравнением F(x, y) = 0, то для нахождения производной этой функции по переменной x не требуется предварительно разрешать уравнение относительно y. Вместо этого следует продифференцировать данное уравнение по переменной x, рассматривая y как функцию от x. Затем полученное уравнение необходимо решить относительно производной y'.

Производная неявной функции выражается в терминах аргумента x и функции y.

Дифференцирование функций векторного анализа

Векторные функции, например, векторное поле, также могут быть дифференцированы. Для этого применяются понятия градиента, дивергенции и ротора, которые позволяют находить производные векторных функций.

Дифференцирование векторной функции представляет собой математическую операцию, направленную на определение производной векторной функции по одной или нескольким независимым переменным. Процедура дифференцирования включает вычисление производной каждого компонента векторной функции относительно независимой переменной с применением соответствующих правил дифференцирования, включая правило степени, правило произведения и правило цепочки.

Дифференцирование векторной функции является ключевым аспектом математического анализа, поскольку оно позволяет определить скорость изменения данной функции в конкретной точке. Этот процесс также способствует вычислению градиента векторной функции, что имеет широкое применение в различных научных и прикладных областях, таких как физика, инженерия и экономика.

Применение дифференцирования векторной функции:

1. Определение скорости и ускорения объектов в динамике.
2. Анализ темпов изменений экономических и финансовых показателей.
3. Выявление направления максимального изменения в физических системах.
4. Решение задач оптимизации для нахождения экстремумов (минимумов и максимумов) векторной функции.

Частные производные

Для функций от нескольких переменных (многомерных функций) используется понятие частной производной. Частная производная функции нескольких переменных – это предел отношения приращения функции по данной переменной к приращению этой переменной при стремлении приращения к нулю. Геометрически частная производная представляет собой производную по направлению оси координат, соответствующей данной переменной.

Для вычисления частной производной функции нескольких переменных по одной из её аргументов необходимо все остальные аргументы рассматривать как постоянные и применять правила дифференцирования функции одной переменной. В остальном правила вычисления производной не меняются.

Частные производные находят широкое применение в различных областях математического анализа, включая вычисление полного дифференциала функции и определение её экстремумов, а также теории оптимизации и в других областях.

Литература

1. Ляпунов А. М. Теория дифференцирования функций. — М.: Наука, 1983. — С. 256.
2. Киселев А. В. Основы математического анализа. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — С. 320.
3. Григорьев Д. В. Методы дифференцирования и их применение. — 2010. — С. 400.
4. Корж И. П. Дифференциальное исчисление: Учебное пособие. — Екатеринбург: УрФУ, 2018. — С. 180.
5. Сидоренко В. Н. Применение производных в математике и физике. — Новосибирск: Наука, 2021. — С. 250.