Степенные ряды

Наука
Математика
Тема	Степенные ряды
Предмет изучения	Действия со степенными рядами
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Степенно́й ряд — частный случай функционального ряда, где:

$\sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle u_{n}(x),u_{n}(x)=a_{n}(x-r)^{n}$

x — переменная, $a_{n}$ — коэффициенты степенного ряда, r — центр степенного ряда.

Сходимость степенных рядов

Сумму $S_{n}$ первых 𝑛 членов степенного ряда называют n-й частичной суммой: $S_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-r)+a_{2}(x-r)^{2}+...+a_{2}(x-r)^{n}$. Если существует конечный предел для любого определённого значения x ($\forall x$): $\lim _{n\to \infty }S_{n}(x)=S(x)$ тогда ряд является сходящимся, если сумма его членов стремится к определённому значению S(x), которое и называется суммой данного ряда.

Если ряд, составленный из модулей его членов, также сходится, то его называют абсолютно сходящимся. Что касается степенного ряда, то его интервал сходимости определяется следующим образом: $(r-R,r+R)$, где R — радиус сходимости степенного ряда. Степенной ряд сходится при: $|x-r|<R$.

Основные признаки сходимости

Теорема Абеля

Теорема Абеля гласит о том, что если степенной ряд $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle u_{n}(x),u_{n}(x)=a_{n}(x-r)^{n}$ сходится в точке $r\neq 0$, то он сходится, и притом абсолютно, для любого r, удовлетворяющего неравенству $|r|<R$, где R — радиус сходимости ряда, $|r|<R$ — круг сходимости ряда. Из данной теоремы следует, что существует положительное число R, что при $|r|<R$ ряд сходится, а при $|r|>R$ расходится, таким образом, окружность $|r|=R$ разделяет плоскость на две части: внутри круга ряд сходится, вне — расходится.

Формула Коши-Адамара

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара $R={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$. В данном случае $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\ell$ — верхний предел последовательности $c_{n}={\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$. Существует он постоянно и притом является единственным. Если $\ell =+\infty$, то $R=0$, если же $\ell =0$ считают, что $R=\infty$.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами $\sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle u_{n}(x)$ и существует конечный предел $\lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1$. Тогда, если $R<1$, то данный ряд сходится, если же $R>1$, то — расходится. В случае $R=1$, ряд может как сходиться, так и расходиться и требуется исследовать ряд другими методами.

Свойства степенных рядов

Основными свойствами степенных рядов являются:

1. Когда $R\neq 0$, то применение теоремы Вейерштрасса позволяет утверждать равномерную сходимость ряда $|r|\leq t$ для любого положительного t меньшего радиуса круга, при этом равномерная сходимость степенного ряда внутри соответствующего круга гарантируется.
2. Из условий аналитической природы членов степенного ряда и свойств равномерной сходимости следует: сумма такого ряда в пределах его области (края радиуса R) представляет собой функцию, которая является аналитичной.
3. Каждый член ряда допускает многократное (любое количество) интегрирование по переменной r, сохраняя свойства суммирования внутри круга, где абсолютная величина радиуса меньше установленного предела. По аналогии с интеграцией, степенные члены ряда разрешено дифференцировать столько раз, сколько нужно. Это означает, что возможна дифференциация 1-го порядка, дифференциация 2-го порядка и так далее для любого числа дифференцирований, при условии нахождения внутри круга сходимости.