Степенные ряды

Математика
	Наука
Математика
Тема	Степенные ряды
Предмет изучения	Действия со степенными рядами
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика ; математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Степенно́й ряд — частный случай функционального ряда, где:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle u_n(x), u_n(x)=a_n(x-r)^n}

x — переменная, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n} — коэффициенты степенного ряда, r — центр степенного ряда^[1].

Сходимость степенных рядов

Сумму Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} первых 𝑛 членов степенного ряда называют n-й частичной суммой: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n(x)= a_0+a_1(x - r) +a_2(x - r)^2+...+a_2(x - r) ^n} . Если существует конечный предел для любого определённого значения x (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x} ): Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n(x)= S (x)} тогда ряд является сходящимся, если сумма его членов стремится к определённому значению S(x), которое и называется суммой данного ряда.

Если ряд, составленный из модулей его членов, также сходится, то его называют абсолютно сходящимся. Что касается степенного ряда, то его интервал сходимости определяется следующим образом: $(r-R,r+R)$ , где R — радиус сходимости степенного ряда. Степенной ряд сходится при: $|x-r|<R$ ^[1].

Основные признаки сходимости

Теорема Абеля

Теорема Абеля гласит о том, что если степенной ряд $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle u_{n}(x),u_{n}(x)=a_{n}(x-r)^{n}$ сходится в точке $r\neq 0$ , то он сходится, и притом абсолютно, для любого r, удовлетворяющего неравенству $|r|<R$ , где R — радиус сходимости ряда, $|r|<R$ — круг сходимости ряда. Из данной теоремы следует, что существует положительное число R, что при $|r|<R$ ряд сходится, а при $|r|>R$ расходится, таким образом, окружность $|r|=R$ разделяет плоскость на две части: внутри круга ряд сходится, вне — расходится^[2].

Формула Коши-Адамара

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара $R={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$ . В данном случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{ |a_n| } = \ell} — верхний предел последовательности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_n = \sqrt[n]{|a_n|}} . Существует он постоянно и притом является единственным. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell=+\infty} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=0} , если же Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell=0} считают, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=\infty} ^[3].

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle u_n(x)} и существует конечный предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1} }{u_n}=1} . Тогда, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R< 1} , то данный ряд сходится, если же Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R>1} , то — расходится. В случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=1} , ряд может как сходиться, так и расходиться и требуется исследовать ряд другими методами^[4].

Свойства степенных рядов

Основными свойствами степенных рядов являются^[4]:

Когда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\neq0} , то применение теоремы Вейерштрасса позволяет утверждать равномерную сходимость ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |r|\leq t} для любого положительного t меньшего радиуса круга, при этом равномерная сходимость степенного ряда внутри соответствующего круга гарантируется.
Из условий аналитической природы членов степенного ряда и свойств равномерной сходимости следует: сумма такого ряда в пределах его области (края радиуса R) представляет собой функцию, которая является аналитичной.
Каждый член ряда допускает многократное (любое количество) интегрирование по переменной r, сохраняя свойства суммирования внутри круга, где абсолютная величина радиуса меньше установленного предела. По аналогии с интеграцией, степенные члены ряда разрешено дифференцировать столько раз, сколько нужно. Это означает, что возможна дифференциация 1-го порядка, дифференциация 2-го порядка и так далее для любого числа дифференцирований, при условии нахождения внутри круга сходимости.

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Горбунова Н.Ю., Платонова Н.Н. Ряды: учебное пособие. — Пермь: ИПЦ «Прокростъ», 2017. — 156 с. — ISBN 978-5-94279-352-4.
↑ Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. — Москва: Высшая Школа, 1981. — 688 с.
↑ Гредасова Н.В., Желонкина Н.И., Корешникова М.А., Полищук Е.Г., Андреева И.Ю. Ряды: учебное пособие. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2016. — 120 с. — ISBN ISBN 978-5-7996-1814-8.
↑ ^4,0 ^4,1 Волков В.А. Ряды, интеграл Фурье. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2015. — 95 с.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Горбунова Н.Ю., Платонова Н.Н. Ряды: учебное пособие. — Пермь: ИПЦ «Прокростъ», 2017. — 156 с. — ISBN 978-5-94279-352-4.

[2] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. — Москва: Высшая Школа, 1981. — 688 с.

[:2-3] Гредасова Н.В., Желонкина Н.И., Корешникова М.А., Полищук Е.Г., Андреева И.Ю. Ряды: учебное пособие. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2016. — 120 с. — ISBN ISBN 978-5-7996-1814-8.

[:1-4] 4,0 ^4,1 Волков В.А. Ряды, интеграл Фурье. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2015. — 95 с.

[1]

[2]

[3]

[4]