Неопределённый интеграл

Математика
	Наука
Математика
	Область математикиОбласть математики
Тема	Неопределённый интеграл
Предмет изучения	Интегрирование
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика ; математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия
Значительные учёные	Исаак Ньютон, Лейбниц

Неопределённый интегра́л функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} — множество всех первообразных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x)+C} данной функции.

Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} является определённой и непрерывной функцией на множестве Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x)} является её первообразной, то

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C } ,

где С — произвольная постоянная.

Пример: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x^2 + 3x)'= 2x + 3} , значит $\int (2x+3)dx=x^{2}+3x+C$

Интегрированием является нахождение неопределённого интеграла от функции, его возможно проверить с помощью обратного действия — дифференцирования^[1].

Основные свойства неопределённого интеграла

Выделяют следующие свойства неопределённого интеграла^[2]:

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: ${\Bigl (}\int f(x)dx{\Bigr )}'=f(x)$ .
Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: $d\int f(x)dx=f(x)dx$ .
Неопределённый интеграл от дифференциала функции $F(x)$ равен данной функции: $\int dF(x)=F(x)+C$ .
Постоянный множитель возможно записать за знаком интеграла: $\int A\cdot f(x)dx=A\cdot \int f(x)dx+C$ .
Неопределённый интеграл от суммы (разности) подынтегральных функций равен сумме (разности) интегралов этих функций: $\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx+C$ .
Инвариантность формулы интегрирования. Если $\int f(x)dx=F(x)+C$ , то и $\int f(u)du=F(u)+C$ , где $u=\varphi (x)$ — произвольная функция, которая имеет непрерывную производную.

Таблица основных неопределённых интегралов

Нахождение неопределённого интеграла рациональных функций^[3]:

Интеграл от dx равен x: $\int dx=x+C$ .
Интеграл от dx, делённый на x равен натуральному логарифму x по модулю: $\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$ .
Интеграл от dx в степени a равен x в степени a+1, делённый на a+1: $\int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}$ ( $a\neq -1$ ).
Интеграл от dx, делённый на сумму единицы и x во 2 степени равен арктангенсу x: $\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\arctan x+C$ .

Следующие интегралы называют формулами «высоких» логарифмов^[3]:

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {x-a}{x+a}}+C$ , $a\neq 0$ .
$\int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {a+x}{a-x}}+C$ , $a\neq 0$

Нахождение неопределённого интеграла экспоненциальных функций^[3]:

Интеграл от a в степени x равен a в степени х, делённый на натуральный логарифм a: $\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$ .
Интеграл от экспоненты в степени x равен экспоненте в степени х: $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ .

Нахождение неопределённого интеграла тригонометрических функций^[3]:

Интеграл от косинуса x равен синусу x: $\int \cos xdx=\sin x+C$ .
Интеграл от синуса x равен минус косинусу x: $\int \sin xdx=-\cos x+C$ .
Интеграл от dx, делённый на косинус во 2 степени x равен тангенсу x: $\int {\frac {dx}{cos^{2}x}}=\tan x+C$ .
Интеграл от dx, делённый на синус во 2 степени x равен минус котангенсу x: $\int {\frac {dx}{sin^{2}x}}=-\cot x+C$ .

Нахождение неопределённого интеграла иррациональных функций^[3]:

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C$
$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {\frac {x}{a}}+C$ , $|x|<a$

Следующий интеграл называют формулой «длинного» логарифма^[3]:

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}|+C$ , $a\neq 0$ .

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Данный метод подразумевает приведение неопределённого интеграла к его к табличному виду с помощью тождественных преобразований и свойств^[4].

Пример. Найти $\int (x^{2}+4)^{2}dx$

Решение. Для выполнения задания воспользуемся свойствами и таблицей интегралов: $\int (x^{2}+4)^{2}dx=\int (x^{4}+8x^{2}+16)dx={\frac {x^{5}}{5}}+8\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+16x+C$

Метод подстановки (замены переменной)

В данном методе для вычисления неопределённого интеграла вводится новая переменная. При этом интеграл приводится к новому, который можно вычислить с помощью таблицы основных интегралов. Замена переменной используется для интеграла, имеющего сложное подынтегральное выражение^[4].

Для вычисления $\int f(x)dx$ , где $f(x)$ — непрерывная функция, делаем следующую замену: $x=\varphi (t)$ , следовательно $dx=\varphi '(t)dt$ .

Тогда $\int f(x)dx=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)dt$ .

Пример. Найти $\int t\cdot (t+5)^{3}dt$

Решение. Для того, чтобы решить данное задание необходимо сделать замену: $t+5=x$ , $t=x-5$ , $dt=dx$ , тогда

$\int (x-5)x^{3}dx=\int (x^{4}-5x^{3})dx={\frac {x^{5}}{5}}-5{\frac {x^{4}}{4}}+C$ .

Выполнив обратную замену, получится:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x^5}{5}-5 \frac{x^4}{4}+ C = \frac{ (t+5)^5}{5}-5 \frac{ (t+5)^4}{4}+ C }

Интегрирование по частям

В данном методе подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух функций $u$ и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\upsilon} . Данные функции берутся таким образом, чтобы интеграл от них можно было найти с помощью непосредственного интегрирования. Далее применяется формула^[3]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int u \cdot d\upsilon=u\cdot\upsilon-\int \upsilon\cdot du}

Её также можно применять справа налево.

Пример. Найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (3x+4) cos x dx}

Решение. Для того, чтобы найти данный интеграл, необходимо выполнить замену: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u=3x+4} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dv= cosxdx} , значит Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle du=3dx} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=sinx} .

Воспользовавшись формулой интегрирования по частям, а затем таблицей интегралов, получится:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (3x+4)sinx -\int 3 sinx dx= (3x+4)sinx -(-3cosx)=(3x+4)sinx +3 cosx} ^[4]^[5].

Примечания

↑ Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд.. — М.: Айрис-пресс, 2009. — С. 226—227. — 608 с. — ISBN 5-8112-1778-1.
↑ Горлач Б.А. Ряды. Интегрирование. Дифференциальные уравнения. — СПб.: Лань, 2022. — С. 5—6. — 252 с. — ISBN 978-5-8114-2714-7.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 Зайцева Н. В., Шишкина Э. Л. Математический анализ. Часть 1 : учебник для вузов. — М.: Издательство Московского государственного университета, 2024. — С. 271—272. — 328 с. — ISBN 978-5-19-012045-5.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс / Под ред. А. Н. Тихонова. — 2-е изд.. — М.: Издательство Московского государственного университета, 1985. — С. 297—303. — 662 с.
↑ Синельникова Н. А., Маслакова Л. Ф. Интегрирование —важный процесс математического анализа // Теория и практика современной науки : журнал. — 2017. — № 5 (23). — С. 1091—1094.

[1] Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд.. — М.: Айрис-пресс, 2009. — С. 226—227. — 608 с. — ISBN 5-8112-1778-1.

[2] Горлач Б.А. Ряды. Интегрирование. Дифференциальные уравнения. — СПб.: Лань, 2022. — С. 5—6. — 252 с. — ISBN 978-5-8114-2714-7.

[:0-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 Зайцева Н. В., Шишкина Э. Л. Математический анализ. Часть 1 : учебник для вузов. — М.: Издательство Московского государственного университета, 2024. — С. 271—272. — 328 с. — ISBN 978-5-19-012045-5.

[:1-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс / Под ред. А. Н. Тихонова. — 2-е изд.. — М.: Издательство Московского государственного университета, 1985. — С. 297—303. — 662 с.

[5] Синельникова Н. А., Маслакова Л. Ф. Интегрирование —важный процесс математического анализа // Теория и практика современной науки : журнал. — 2017. — № 5 (23). — С. 1091—1094.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]