Неопределённый интеграл

Наука
Математика
Тема	Неопределённый интеграл
Предмет изучения	Интегрирование
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия
Значительные учёные	Исаак Ньютон, Лейбниц

Неопределённый интегра́л функции $f(x)$ — множество всех первообразных $F(x)+C$ данной функции.

Если $f(x)$ является определённой и непрерывной функцией на множестве $(a,b)$ , а $F(x)$ является её первообразной, то

$\int f(x)dx=F(x)+C$ ,

где С — произвольная постоянная.

Пример: $(x^{2}+3x)'=2x+3$, значит $\int (2x+3)dx=x^{2}+3x+C$

Интегрированием является нахождение неопределённого интеграла от функции, его возможно проверить с помощью обратного действия — дифференцирования.

Основные свойства неопределённого интеграла

Выделяют следующие свойства неопределённого интеграла:

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:${\Bigl (}\int f(x)dx{\Bigr )}'=f(x)$.
2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: $d\int f(x)dx=f(x)dx$.
3. Неопределённый интеграл от дифференциала функции $F(x)$ равен данной функции:$\int dF(x)=F(x)+C$.
4. Постоянный множитель возможно записать за знаком интеграла:$\int A\cdot f(x)dx=A\cdot \int f(x)dx+C$.
5. Неопределённый интеграл от суммы (разности) подынтегральных функций равен сумме (разности) интегралов этих функций:$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx+C$.
6. Инвариантность формулы интегрирования. Если $\int f(x)dx=F(x)+C$, то и $\int f(u)du=F(u)+C$, где $u=\varphi (x)$ — произвольная функция, которая имеет непрерывную производную.

Таблица основных неопределённых интегралов

Нахождение неопределённого интеграла рациональных функций:

• Интеграл от dx равен x: $\int dx=x+C$.
• Интеграл от dx, делённый на x равен натуральному логарифму x по модулю:$\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$.
• Интеграл от dx в степени a равен x в степени a+1, делённый на a+1: $\int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}$ ($a\neq -1$).
• Интеграл от dx, делённый на сумму единицы и x во 2 степени равен арктангенсу x:$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\arctan x+C$.

Следующие интегралы называют формулами «высоких» логарифмов:

• $\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {x-a}{x+a}}+C$, $a\neq 0$.
• $\int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {a+x}{a-x}}+C$, $a\neq 0$

Нахождение неопределённого интеграла экспоненциальных функций:

• Интеграл от a в степени x равен a в степени х, делённый на натуральный логарифм a:$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$.
• Интеграл от экспоненты в степени x равен экспоненте в степени х:$\int e^{x}dx=e^{x}+C$.

Нахождение неопределённого интеграла тригонометрических функций:

• Интеграл от косинуса x равен синусу x: $\int \cos xdx=\sin x+C$.
• Интеграл от синуса x равен минус косинусу x:$\int \sin xdx=-\cos x+C$.
• Интеграл от dx, делённый на косинус во 2 степени x равен тангенсу x:$\int {\frac {dx}{cos^{2}x}}=\tan x+C$.
• Интеграл от dx, делённый на синус во 2 степени x равен минус котангенсу x: $\int {\frac {dx}{sin^{2}x}}=-\cot x+C$.

Нахождение неопределённого интеграла иррациональных функций:

• $\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C$
• $\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {\frac {x}{a}}+C$, $|x|<a$

Следующий интеграл называют формулой «длинного» логарифма:

• $\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}|+C$, $a\neq 0$ .

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Данный метод подразумевает приведение неопределённого интеграла к его к табличному виду с помощью тождественных преобразований и свойств.

Пример. Найти $\int (x^{2}+4)^{2}dx$

Решение. Для выполнения задания воспользуемся свойствами и таблицей интегралов: $\int (x^{2}+4)^{2}dx=\int (x^{4}+8x^{2}+16)dx={\frac {x^{5}}{5}}+8\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+16x+C$

Метод подстановки (замены переменной)

В данном методе для вычисления неопределённого интеграла вводится новая переменная. При этом интеграл приводится к новому, который можно вычислить с помощью таблицы основных интегралов. Замена переменной используется для интеграла, имеющего сложное подынтегральное выражение.

Для вычисления $\int f(x)dx$, где $f(x)$ — непрерывная функция, делаем следующую замену: $x=\varphi (t)$, следовательно $dx=\varphi '(t)dt$.

Тогда $\int f(x)dx=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)dt$.

Пример. Найти $\int t\cdot (t+5)^{3}dt$

Решение. Для того, чтобы решить данное задание необходимо сделать замену: $t+5=x$, $t=x-5$, $dt=dx$, тогда

$\int (x-5)x^{3}dx=\int (x^{4}-5x^{3})dx={\frac {x^{5}}{5}}-5{\frac {x^{4}}{4}}+C$.

Выполнив обратную замену, получится:

${\frac {x^{5}}{5}}-5{\frac {x^{4}}{4}}+C={\frac {(t+5)^{5}}{5}}-5{\frac {(t+5)^{4}}{4}}+C$

Интегрирование по частям

В данном методе подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух функций $u$ и $d\upsilon$. Данные функции берутся таким образом, чтобы интеграл от них можно было найти с помощью непосредственного интегрирования. Далее применяется формула:

$\int u\cdot d\upsilon =u\cdot \upsilon -\int \upsilon \cdot du$

Её также можно применять справа налево.

Пример. Найти $\int (3x+4)cosxdx$

Решение. Для того, чтобы найти данный интеграл, необходимо выполнить замену: $u=3x+4$, $dv=cosxdx$, значит $du=3dx$, $v=sinx$.

Воспользовавшись формулой интегрирования по частям, а затем таблицей интегралов, получится:

$(3x+4)sinx-\int 3sinxdx=(3x+4)sinx-(-3cosx)=(3x+4)sinx+3cosx$.