Производная функции

Математика
	Наука
Математика
	Область математикиОбласть математики
Тема	Производная функции
Предмет изучения	действия с производной функции
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика ; математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Произво́дная фу́нкции — это понятие дифференциального исчисления, отражающее скорость изменения функции в точке $x$ ^[1].

Производная функции может быть представлена в виде предела отношения приращения функции к приращению аргумента при x стремящемуся к нулю: $f'(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

История возникновения производной

Производная появилась в XVII веке в связи с необходимостью решения огромного количества задач из математики, физики и механики.

Впервые великий английский физик Исаак Ньютон решил задачу о нахождении скорости прямолинейного неравномерного движения. Он называл флюентой функцию, то есть текущую величину (от лат. fluere — течь), а флюксией — производную этой функции. Для обозначения функций Ньютон использовал буквы латинского алфавита: $u,x,y,z,$ а чтобы обозначить их производные, брал те же буквы и ставил над ними точку: $u',x',y',z'$ .

Свои результаты по изучению производной Ньютон изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов»^[2], который был опубликован в 1671 году. Учёные считают, что Ньютон открыл свой метод производных примерно в 60-х годах XVII века, но его трактат был опубликован только в 1736 году.

Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо от других учёных открыл дифференциальное исчисление, предложив удобную запись $dy/dx$ для обозначения производной, которая подчёркивала предельный переход и была удобна в использовании. Лейбниц также разработал алгоритмические правила дифференцирования, которые значительно упростили процесс нахождения производных.

Основные правила нахождения производной

Если c — постоянная величина и функции $u=u(x),v=v(x),w=w(x)$ имеют производные, то^[3]:

Производная любой постоянной величины (числа) равна нулю $c'=0$ .
Производная произведения постоянной величины и функции равна произведению постоянной величины на производную этой функции $(cu)'=cu'$ .
Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций $(u+v-w)'=u'+v'-w'$ .
Производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции, умноженной на вторую, и производной второй функции, умноженной на первую $(uv)'=u'v+uv'$ .
Производная частного двух функций равна частному, в числителе которого стоит разность производной первой функции, умноженной на вторую, и производная второй функции, умноженной на первую, а в знаменателе вторая функция в квадрате $({\frac {u}{v}})'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$ .
Производная функции в степени n равна произведению n, функции в степени n-1 и производной функции $(u^{n})'=nu^{n-1}u'$ .
если функции $y=f(u)$ и $u=\phi (x)$ имеют производные, то $y'_{x}=y'_{u}u'_{x}$ .

Производные элементарных функций

Производные элементарных функций имеют следующие значения^[4]

Производная любой переменной по самой себе равна единице $(x)'=1$ .
Производная x в степени n равна n, умноженному на x в степени n-1 $(x^{n})'=nx^{n-1}$ .
Производная числа a в степени x равна a в степени x умноженному на натуральный логарифм числа a $(a^{x})'=a^{x}\cdot \ln a$ .
Производная экспоненты в степени x равна самой себе $(e^{x})'=e^{x}$ .
Производная логарифма x по основанию a равна единице, делённой на произведение x и натурального логарифма числа a $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$ .
Производная натурального логарифма x равна единице, делённой на x $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$ .
Производная синуса x равна косинусу x Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\sin x)' = \cos x} .
Производная косинуса x равна синусу x с противоположным знаком Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\cos x)' = -\sin x} .
Производная квадратного корня из x равна единице, делённой на двойку, умноженною на квадратный корень из числа x Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}} .
Производная тангенса x равна единице, делённой на косинус в квадрате x Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}} .
Производная котангенса x равна минус единице, делённой на синус в квадрате x Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}} .
Производная арксинуса x равна единице, делённой на квадратный корень из единицы минус x в квадрате Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt {1- x^2}}} .
Производная арккосинуса x равна минус единице, делённой на квадратный корень из единицы минус x в квадрате Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt {1- x^2}}} .
Производная арктангенса x равна единице, делённой на разность единицы и x в квадрате Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1- x^2}} .
Производная арккотангенса x равна минус единице, делённой на разность единицы и x в квадрате Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\operatorname{arcctg} x)' = - \frac{1}{1-x^2} } .

Смыслы производной

Геометрический смысл производной

В точке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = f(x)} производная равна коэффициенту наклона касательной к этой точке. Этот угловой коэффициент, является тангенсом угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} ^[4].
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(x) = k = \operatorname{tg}\alpha} .

Физический (механический) смысл производной

Если некоторая точка движется вдоль оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX } и её координата Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x } зависит от времени Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t } , тогда производная координаты этой точки равна мгновенной скорости^[4]:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t) = x'(t) } ,
а её ускорение находится с помощью производной от мгновенной скорости:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t) = v'(t) = x''(t) }

Применение производной

Возрастание и убывание функции^[4].
Если производная функции больше нуля на некотором интервале, то она возрастает на этом интервале. Если производная функции меньше нуля, то убывает.
Нахождение локальных точек экстремума^[4].
Локальные максимумы и минимумы могут находится в точках, где производная функции равна нулю или не существует.
Выпуклость и вогнутость^[4].
Выпуклость и вогнутость графика функции определяется второй производной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f''(x)} . Если вторая производная функции больше нуля на заданном интервале, то функция вогнута на этом интервале. Если же вторая производная функции меньше нуля, то выпукла.
Нахождение касательных^[4].
Уравнение касательной к графику функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=f(x)} в точке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_0, f(x_0)) } имеет вид: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)}
Вычисление пределов неопределённостей первого и второго типа^[4].
Для вычисления пределов такого вида неопределённости используется Правило Лопиталя: если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = 0} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = 0} (или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \infty } ) и существует предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}} .

Основные теоремы, связанные с нахождением производной

Теорема о непрерывности функции в точке ^[4]

Если в функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} существует конечная производная (функция дифференцируема) в точке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} , то она непрерывна в этой точке.

Теорема Ферма (о стационарных точках) ^[4]

Если функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} имеет максимум или минимум в точке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} и в этой точке существует конечная производная (функция дифференцируема), тогда производная функции в этой точке равна нулю Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(c) = 0} .

Теорема Дарбу^[4]

Если функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} имеет конечную производную в промежутке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a, b]} ,то функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(x)} может принимать, в качестве значения, каждое промежуточное число между Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(a)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(b)} .

Теорема Ролля ^[4]

Если функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} непрерывна на отрезке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a, b]} , дифференцируема на интервале Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a, b)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(a)=f(b)} , то существует по крайней мере одна точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c \in (a, b)} , такая что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(c) = 0} .

Теорема Лагранжа (о среднем значении) ^[4]

Если функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} непрерывна на отрезке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a, b]} и дифференцируема на интервале Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a, b)} , то существует по крайней мере одна точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c \in (a, b)} , такая что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}} .
Геометрический смысл теоремы: Существует касательная в точке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} , параллельная хорде, соединяющая точки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a , f(a))} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (b , f(b))}

Теорема Коши (обобщённая теорема о среднем значении)^[4]

Если функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x)} непрерывны на отрезке [a, b], на интервале Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a, b)} возможно найти их конечную производную и производная функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g'(x) \ne 0} на этом интервале, то существует по крайней мере одна точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c \in (a, b)} , такая что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}} .

Примечания

↑ Производная (неопр.). Большая российская энциклопедия. Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»». Дата обращения: 21 декабря 2024.
↑ Ньютон Исаак сэр, Джон Адамс. Метод флюксий и бесконечных рядов: его применение в геометрии кривых линий. — 1-е изд.. — Лондон, 1737. — 339 с.
↑ Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов. — 4-е изд.. — М.: АСТ, 2005. — С. 83—84. — 560 с. — ISBN 5-17-010062-0.
↑ ^4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Том 1. — 6-е изд.. — Москва: Наука, 1968. — 440 с.

[1] Производная (неопр.). Большая российская энциклопедия. Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»». Дата обращения: 21 декабря 2024.

[2] Ньютон Исаак сэр, Джон Адамс. Метод флюксий и бесконечных рядов: его применение в геометрии кривых линий. — 1-е изд.. — Лондон, 1737. — 339 с.

[:1-3] Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов. — 4-е изд.. — М.: АСТ, 2005. — С. 83—84. — 560 с. — ISBN 5-17-010062-0.

[:0-4] 4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Том 1. — 6-е изд.. — Москва: Наука, 1968. — 440 с.

[1]

[2]

[3]

[4]