Основные методы интегрирования

Наука
Математика
Тема	Интеграл
Предмет изучения	основные методы интегрирования
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Основные ме́тоды интегри́рования — способы нахождения всех первообразных любой функции.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций. Тождественные преобразования строятся на применении свойств интеграла, таких как вынесение константы за знак интеграла или разложение интеграла суммы на сумму интегралов. Затем применяется таблица интегралов элементарных функций.

Обычно подобные преобразования во время интегрирования выполняются устно, записывая лишь полученный результат интегрирования.

Внесение под знак дифференциала (метод подстановки)

Данный метод состоит в использовании свойств дифференциала для приведения подынтегрального выражения к табличной форме. Подынтегральное выражение преобразовывается в функцию вида $f(g(x))d(g(x))$. Предположим, что существует такой неопределённый интеграл $\int f(g(x))*g\prime (x)dx$, где подынтегральная функция непрерывна. Пусть $t=g(x)$, тогда если вычислить дифференциал, то получится $dt=g\prime (x)dx$. Таким образом $\int f(g(x))*g\prime (x)dx=\int f(t)dt$, что после обратной замены равно $\int f(g(x))d(g(x))$.

Пример: Найти $\int \cos(2x)dx$.

Решение: Пусть $2x=t$, тогда $dt=2dx$, а $dx={\frac {1}{2}}dt$. Таким образом,$\int \cos(2x)dx=\int {\frac {1}{2}}\cos(t)dt$ Вынеся дробь за знак интеграла и применив обратную замену, найдем чему он будет равен с помощью таблицы интегралов:

${\frac {1}{2}}\int \cos(t)dt={\frac {\sin(t)}{2}}+C={\frac {\sin(2x)}{2}}+C$

Интегрирование по частям

Пусть $u=u(x)$ и $v=v(x)$, тогда справедлива формула интегрирования по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

или

$\int uv\prime dx=uv-\int vu\prime dx$

Пример: Найти $\int (x+3)e^{x}dx$

Решение: Пусть $u=(x+3)$, а $dv=e^{x}dx$. Тогда $du=dx$, a $v=e^{x}$. Подставив в формулу получим:

$\int (x+3)e^{x}dx=(x+3)e^{x}-\int e^{x}dx=(x+3)e^{x}-e^{x}+C=(x+2)+C$.

Интегрирование дробно-рациональных функций

Метод заключается разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Предположим, что существует функция $f(x)={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}$, где $P_{m}(x)$ — многочлен степени $m$, a $Q_{n}(x)$ — многочлен степени $n$.

Степень числителя больше или равна степени знаменателя

В таком случае надо выделить целую часть делением числителя $P_{m}(x)$ на знаменатель $Q_{n}(x)$, то есть представить дробь в виде:

${\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}=G(x)+{\frac {P_{v}(x)}{Q_{n}(x)}}$, где $v<n$.

Степень числителя меньше степени знаменателя

В этом случае надо сначала разложить знаменатель $Q(x)$ на линейные и квадратные множители: $Q(x)=(x-a)^{k}...(x^{2}+px+q)^{t}$, где многочлен $x^{2}+px+q$ не имеет действительных корней.

Множителю $(x-a)^{k}$ соответствует $k$ простейших дробей вида:

${\frac {A_{1}}{x-a}}+{\frac {A_{2}}{(x-a)^{2}}}+...+{\frac {A_{k}}{(x-a)^{k}}}$,

а множителю $(x^{2}+px+q)^{t}$ соответствует $t$ простейших дробей вида:

${\frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}}+{\frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}}+...+{\frac {B_{t}x+C_{t}}{(x^{2}+px+q)^{t}}}$,

где $A_{i},B_{j},C_{j}$ — произвольные постоянные, а $i=1,2,...,k$ и $j=1,2,...,t$.

Находим коэффициенты $A_{i},B_{j},C_{j}$, и в результате интеграл $\int {\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}dx$ сведётся к интегралу суммы многочлена и простейших дробей:

$\int {\frac {A_{1}}{x-a}}+{\frac {A_{2}}{(x-a)^{2}}}+...+{\frac {A_{k}}{(x-a)^{k}}}+{\frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}}+{\frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}}+...+{\frac {B_{t}x+C_{t}}{(x^{2}+px+q)^{t}}}dx$

Пример: Найти $\int {\frac {3x-1}{(x+2)(x+1)}}dx$

Решение: Разложим дробь на сумму простейших, приведём к общему знаменателю и затем приравняем числители полученных дробей:

$\int {\frac {3x-1}{(x+2)(x+1)}}dx=\int {\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x+1}}dx=\int {\frac {A(x+1)+B(x+2)}{(x+2)(x+1)}}dx$

$3x-1=A(x+1)+B(x+2)$.

Найдем коэффициенты $A$и $B$:

$3x-1=Ax+A+Bx+2B$

$3x-1=(A+B)x+(A+2B)$

отсюда получим систему линейных уравнений ${\begin{cases}A+B=3\\A+2B=-1\end{cases}}$,

откуда $A=7$ и $B=-4$.

Таким образом интеграл примет вид:

$\int {\frac {3x-1}{(x+2)(x+1)}}dx=\int {\frac {7}{x+2}}-{\frac {4}{x+1}}dx$.

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида $\int \sin {ax}\cos {bx}dx,\int \sin {ax}\sin {bx}dx,\int \cos {ax}\cos {bx}dx(a\neq b)$ находятся с помощью формул:

1. $\sin {ax}\cos {bx}={\frac {1}{2}}(\sin(a-b)x+\sin(a+b)x)$
2. $\sin {ax}\sin {bx}={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)x-\cos(a+b)x)$
3. $\cos {ax}\cos {bx}={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)x+\cos(a+b)x)$

Пример: Найти $\int \sin {5x}\cos {3x}dx$.

Решение: воспользуемся первой тригонометрической формулой:

$\int \sin {5x}\cos {3x}dx=\int {\frac {1}{2}}(\sin(5-3)x+\sin(5+3)x)dx$

Далее, используя свойства дифференциала, получим сумму интегралов следующего вида:

${\frac {1}{2}}\int \cos(8x)dx+{\frac {1}{2}}\int \sin(2x)dx$

Что будет равно:

${\frac {1}{2}}{\biggl (}-{\frac {\cos(8x)}{8}}-{\frac {\cos(2x)}{2}}{\biggr )}+C$

Интегралы вида $\int \sin ^{2n+1}xdx,\int \cos ^{2n+1}xdx$, где n — натуральное число, находятся внесением под знак дифференциала (заменой переменной) $\sin x$ или $\cos x$.

Пример: найти $\int \sin ^{5}xdx$.

Решение: Разложим синус пятой степени на произведение синуса четвёртой степени и синуса первой степени:

$\int \sin ^{5}xdx=\int \sin ^{4}x\sin xdx$

Представим синус четвёртой степени в виде разности единицы и косинуса с помощью основного тригонометрческого тождества и сразу внесём косинус под знак дифференциала. Получим:

$\int \sin ^{4}x\sin xdx=-\int (1-\cos ^{2}x)^{2}d(\cos x)$

Разложим квадрат разности по формуле сокращенного умножения и найдем интеграл от каждого слагаемого:

$-\int (1-\cos ^{2}x)^{2}d(\cos x)=-\int (1-2\cos ^{2}x+\cos ^{4}x)d(\cos x)=-\cos x+{\frac {2}{3}}\cos ^{2}x-{\frac {1}{5}}\cos ^{5}x+C$

Интегралы вида $\int \sin ^{2n}xdx,\int \cos ^{2n}xdx$, где n — натуральное число, находятся с помощью тригонометрических формул понижения степени и дальнейшим внесением переменной под знак дифференциала.

Пример: найти $\int \cos ^{4}xdx$.

Решение: понизим степень косинуса с помощью формулы понижения степени и разложим квадрат числителя по формуле сокращенного умножения:

$\int \cos ^{4}xdx=\int {\biggl (}{\frac {1+\cos 2x}{2}}{\biggr )}^{2}dx=\int {\biggl (}{\frac {1+2\cos 2x+\cos ^{2}2x}{2}}{\biggr )}dx$

Далее приводим интеграл суммы к виду суммы интегралов, вносим 2х под знак дифференциала во втором интеграле, а в третьем еще раз применяем формулу понижения степени и вносим 4х под знак дифференциала:

$\int {\biggl (}{\frac {1+2\cos 2x+\cos ^{2}2x}{2}}{\biggr )}dx={\frac {1}{4}}\int dx+{\frac {1}{2}}\int \cos 2xd(2x)+{\frac {1}{8}}\int {\frac {1+\cos(4x)}{2}}d(4x)$

Находим сумму интегралов:

${\frac {3}{8}}x+{\frac {1}{4}}\sin(2x)+{\frac {1}{32}}\sin(4x)+C$

Чтобы найти интеграл вида $\int \sin ^{m}x\cos ^{n}xdx$, где $m$ и $n$ — рациональные числа, применяют подстановку $t=\cos x$ или $t=\sin x$, сводят к интегралу от дифференциального бинома и в зависимости от структуры последнего берётся или нет.