Планиметрия

Наука
Планиметрия
Тема	Точная наука
Основные направления	математика, геометрия

Планиме́трия (от лат. planum  — ровное место, равнина, плоскость и др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел геоме́трии, занимающийся изучением свойств и характеристик плоских фигур. Планиметрия рассматривает геометрические фигуры, такие как точки, линии, многоугольники, окружности и их взаиморасположение на плоскости. Планиметрию также называют плоской геометрией.

Изучение в школьном курсе

В процессе изучения геометрии в школе, ученики начинают с освоения планиметрии, а затем переходят к стереометрии, которая занимается изучением трёхмерных объектов. Ключевыми элементами школьного курса планиметрии выступают такие фундаментальные понятия, как точка, линия, плоскость и расстояние между объектами, а также ряд общих математических терминов — понятие множества, преобразование одного множества в другое и прочие.

Содержание школьного курса планиметрии в рамках Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) включает изучение геометрических фигур и отношений между ними на плоскости. Школьный курс планиметрии включает в себя следующие основные темы и понятия:

1. Начальные геометрические сведения

• Точки, прямые, отрезки, лучи, углы.
• Измерение углов, смежные и вертикальные углы.

2. Треугольники

• Признаки равенства треугольников.
• Свойства равнобедренного и равностороннего треугольника.
• Сумма углов треугольника.
• Внешний угол треугольника.
• Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора.

3. Четырёхугольники

• Параллелограмм, свойства и признаки параллелограмма.
• Ромб, прямоугольник, квадрат — свойства и признаки.
• Трапеция, средняя линия трапеции.

4. Окружность и круг

• Центр окружности, радиус, диаметр.
• Дуга, хорда, касательная.
• Углы, вписанные и центральные.
• Длина окружности и площадь круга.

5. Площадь многоугольников

• Формулы площадей различных видов многоугольников (прямоугольник, ромб, треугольник).
• Решение задач на вычисление площади сложных фигур.

6. Подобие фигур

• Определение подобия, коэффициент подобия.

• Теоремы Фалеса и Менелая.
• Применение подобия к решению практических задач.

7. Геометрическое моделирование и решение прикладных задач

• Практическая работа с чертежами, измерениями и построением фигур.
• Примеры решения реальных задач, связанных с проектированием, архитектурой и инженерией.

Методы освоения материала:

• Развитие пространственного воображения и абстрактного мышления.
• Овладение приёмами доказательства теорем и построения фигур.
• Освоение методов измерения длин, углов и площадей.
• Понимание связей геометрии с жизнью и наукой.

Учебный материал направлен на формирование целостного представления о геометрии плоской фигуры, развитие способности применять полученные знания на практике и решать разнообразные задачи.

Основные понятия и термины

Точка — основной элемент пространства, определяемый своими координатами.

Прямая линия — бесконечная прямая, проходящая через две точки.

Отрезок — часть прямой между двумя точками.

Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, соединённых последовательно друг с другом конечными точками.

Луч — полупрямая, начинающаяся в точке и продолжающаяся бесконечно в одном направлении.

Угол — фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Многоугольник — замкнутая ломаная линия, состоящая из конечного числа звеньев.

Окружность — кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Аксиомы планиметрии

Аксиомы планиметрии — это исходные утверждения геометрии плоскости, принимаемые без доказательства и служащие основой для построения всей системы геометрических утверждений и теорем. Эти аксиомы задают фундаментальные свойства точек, линий и плоскостей, а также отношения между ними.

1. Аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости:

• Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
• Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы расположения точек на прямой и на плоскости:

• Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
• Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

3. Аксиомы измерения отрезков и углов:

• Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
• Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180⁰. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4. Аксиомы простейших фигур:

• На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
• От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой и только один.
• Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

5. Аксиома параллельных:

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Формулы планиметрии

Фигура	Формулы
Квадрат	Периметр: ${\textstyle P=4a}$ Площадь: $S=a\cdot a$, где a — сторона квадрата.
Прямоугольник	Периметр: $P=2(a+b)$ Площадь: $S=a\cdot b$, где a и b — стороны прямоугольника.
Треугольник	Периметр: $P=a+b+c$, где a, b, c — стороны треугольника. Площадь: $S={\tfrac {1}{2}}ah$, где а — сторона (основание) треугольника, h — высота Площадь: $S={\tfrac {1}{2}}ab\sin \alpha$, где α — угол, образованный сторонами a и b Площадь (формула Герона): $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, где $p=(a+b+c)/2$ — полупериметр
Параллелограмм	Площадь: $S=a\cdot h$, где а — сторона (основание) параллелограмма, h — высота
Ромб	Площадь через диагонали: $S={\tfrac {1}{2}}d_{1}\cdot d_{2}$
Трапеция	Площадь: $S={\tfrac {a+b}{2}}\cdot h$, где a и b — основания трапеции, h — высота
Окружность	Длина окружности: $C=2\pi r$ Площадь круга: $S=\pi r^{2}$ , где r — радиус окружности.

Галерея

• 

  Прямая

• 

  Луч AB

• 

  Отрезок AB

• 

  Квадрат

• 

  Прямоугольник

• 

  Треугольник

• 

  Параллелограмм

• 

  Ромб

• 

  Трапеция

• 

  Окружность

Практическое применение

Планиметрия используется в различных областях науки и техники:

1. Архитектура и строительство

• Проектирование зданий: планировка помещений, расчёт площадей и объёмов, создание чертежей и планов этажей основываются на принципах планиметрии.
• Расположение объектов на местности: определение размеров участков земли, измерение расстояния между объектами, проектирование садов и парков требуют понимания свойств плоских фигур.

2. Компьютерная графика, анимация, дизайн

• Графический дизайн: создание логотипов, иконок и иллюстраций часто включает работу с простыми фигурами (углами, квадратами, кругами, прямоугольниками), знание которых помогает точно размещать элементы композиции.
• Компьютерные игры: разработка уровней, траекторий движения персонажей, определение столкновений объектов основаны на законах планиметрии.

3. Геодезия и картография

• Определение координат: измерение расстояний и направлений на карте осуществляется с использованием тригонометрических соотношений и методов подобия фигур.
• Создание топографических карт: представление рельефа местности и границ земельных участков выполняется с помощью графиков функций и изображений фигур на плоскости.