Периметр

Периметр — длина контура замкнутой плоской фигуры, длина границы.

Пери́метр (заимств. из франц. яз., где périmètre от греч. perimetron, peri — «вокруг», «кругом» и metron — «мера») — длина замкнутого контура геометрической фигуры, сумма длин всех сторон многоугольника. Термин происходит из древнегреческого языка и в буквальном переводе означает «измерение вокруг», что точно отражает суть математического понятия.

Периметр обозначается заглавной латинской буквой P, под которой принято писать маленькими буквами название фигуры для удобства решения задач. Измеряется периметр в единицах длины: миллиметрах (мм), сантиметрах (см), дециметрах (дм), метрах (м), километрах (км), причём все стороны фигуры должны быть выражены в одинаковых единицах измерения. В метрической системе единицы длины связаны между собой через степени числа 10: 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм, 1 км = 1000 м.

Формулы вычисления периметра

Треугольники

Чтобы узнать периметр треугольника, нужно сложить длины всех трёх его сторон:

$P=a+b+c$,

где a, b, c ‎— протяжённости сторон.

Если речь идёт о равнобедренном треугольнике:

$P=2a+c$,

где a ‎— длина боковых сторон, c ‎— длина основания.

Когда все три стороны равны между собой (равносторонний треугольник):

$P=3a,$

где a ‎— длина любой стороны.

Существует и альтернативный способ нахождения периметра. Если известны площадь треугольника и радиус вписанной окружности, то периметр можно найти следующим образом:

$P=2S/r,$

где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Для прямоугольного треугольника, когда заданы катеты a и b, гипотенузу находят по теореме Пифагора:

$c2=a2+b2,$

после чего можно найти периметр:

$P=a+b+c$.

Если даны катет a и гипотенуза c, тогда:

$P=a+c+{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$,

У равнобедренного треугольника, когда известна боковая сторона a и высота h к основанию, периметр вычисляется так:

$P=2a+2{\sqrt {a^{2}-h^{2}}}$

Четырёхугольники

У прямоугольника противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

$P=2(a+b)$,

где a и b ‎— длина и ширина.

Квадрат ‎— это прямоугольник, у которого все стороны равны. Периметр квадрата равен:

$P=4a,$

где a ‎— длина стороны.

Противоположные стороны параллелограмма равны между собой. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон:

$P=2(a+b),$

где a и b ‎— длины соседних сторон.

Многоугольники и окружности

Правильный многоугольник имеет равные стороны. Чтобы вычислить его периметр, достаточно умножить число сторон на длину одной стороны:

$P=n\times a$,

где n ‎— количество сторон, a ‎— длина стороны.

У окружности нет периметра в обычном понимании, поскольку это не многоугольник. Но существует длина окружности, которая обозначается буквой L. Её можно найти, зная радиус. Длина окружности ‎— это произведение числа π и двух радиусов или произведение числа π и диаметра:

$L=2\pi r=\pi d$,

где d ‎— диаметр, r ‎— радиус, π ≈ 3,14. Для вычисления длины окружности достаточно знать радиус или диаметр и число π.

Для многоугольника, у которого все стороны разной длины, периметр находят путём сложения длин всех сторон:

$P=a+b+c+\ldots +n$,

где a, b, c, …, n ‎— длины сторон.

Изображение периметра прямоугольника

История понятия

Вавилон и Древний Египет

Египтяне и вавилоняне около двух тысяч лет до нашей эры одними из первых использовали концепцию периметра в практических целях — для землемерия и архитектуры. Древнейшие математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Они решали чисто практические задачи.

Для египтян периметр был важным инструментом измерения земельных участков, особенно после ежегодных разливов Нила, когда требовалось заново определять границы земельных владений. Значительных успехов математика Древнего Египта достигла в решении геометрических задач, связанных с потребностями строительства и землемерных работ.

Египетский треугольник со сторонами 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов при возведении пирамид. Интересный факт: периметр основания пирамиды Хеопса, разделённый на её удвоенную высоту, даёт приближённое значение числа π.

Периметр крепости Нёф-Бризах сложный. Кратчайший путь для обхода крепости — по границе выпуклой оболочки.

Древняя Греция

В отличие от египтян и вавилонян, греческие математики подошли к изучению геометрии не с практической, а с теоретической стороны. Значительный вклад в развитие геометрии внесли Пифагор Самосский (около 570–490 гг. до н. э.) и Евклид (около 325–265 гг. до н. э.).

Евклид — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Его главная работа «Начала» (Στοιχεῖα) содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел. «Начала» представляют собой итог трёхсотлетнего развития античной математики. В этом труде доказывается, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат — это первая дошедшая до нас задача на максимум.

Древний Рим

Прокл Диадох (V век н. э.) писал, что греческие крестьяне при разделе полей ошибочно опирались на периметры участков, хотя урожайность поля пропорциональна площади, а не периметру. Римляне унаследовали и развили египетские и греческие методы измерения.

Римские землемеры — агрименсоры (от лат. ager «поле» и mensor «измеритель») — профессионально занимались разметкой земельных участков, городов и военных лагерей. Они использовали специальные инструменты, которые называли грома (крестообразный прибор для построения прямых углов) и декемпеда (10-футовая мерная рейка). Эти приборы были нужны для точного измерения периметров участков при проведении межевания и налогообложения.

Особенности и свойства

Между площадью фигуры и её периметром нет прямой зависимости. Например, прямоугольник с шириной 0,001 см и длиной 1000 см имеет периметр 2000,002 см, а прямоугольник с шириной 0,5 и длиной 2 — периметр 5. Площадь обеих фигур при этом одинакова и равна 1.

Если от фигуры отделить часть, её площадь обязательно уменьшится, однако периметр может остаться прежним или даже увеличиться, если форма границы стала более сложной. Площадь характеризует размер внутренней области фигуры, тогда как периметр описывает длину её внешнего контура.

Изопериметрическая задача

Классическая математическая задача состоит в следующем: среди всех замкнутых кривых с заданным периметром нужно найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь. В евклидовой плоскости решением является окружность. Результат кажется интуитивно очевидным, но строгое математическое доказательство требует применения методов вариационного исчисления.

Частным случаем этой задачи является поиск треугольника, четырёхугольника или иного многоугольника с максимальной площадью при фиксированном периметре. Для треугольников с заданным периметром максимальную площадь имеет равносторонний треугольник, а для четырёхугольников — квадрат. В общем случае правильный многоугольник обладает наибольшей площадью среди всех многоугольников того же числа сторон с одинаковым периметром.

Парадокс измерения и фрактальная природа периметра

Измерение периметра сложных природных объектов представляет собой нетривиальную задачу, что впервые было систематически исследовано британским метеорологом Льюисом Фраем Ричардсоном в 1960-х годах. Он обнаружил, что длина береговой линии зависит от масштаба измерения: чем меньше единица измерения, тем больше получаемая длина.

В 1967 году французский и американский математик Бенуа Мандельброт в статье «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность» развил эти наблюдения, описав парадокс береговой линии: при уменьшении масштаба измерения периметр неограниченно возрастает из-за самоподобной структуры контура на разных уровнях детализации. На основании этих наблюдений Мандельброт сформулировал концепцию фрактальной размерности — величины, принимающей значения между 1 и 2 и характеризующей степень изломанности кривой.

Классическим примером фрактальной кривой служит снежинка Коха, описанная шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году. Она строится итеративно: к каждой стороне равностороннего треугольника добавляется новый треугольник, и процесс повторяется бесконечно. Снежинка Коха обладает парадоксальным свойством: она ограничивает конечную площадь (8/5 от площади исходного треугольника), но имеет бесконечный периметр. При каждой итерации длина периметра увеличивается в 4/3 раза, стремясь к бесконечности.

Концепция фрактальной геометрии получила дальнейшее развитие в работе Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» (1983). Она нашла применение в картографии, компьютерной графике, физике и моделировании природных явлений.

Литература

• T. Heath. A History of Greek Mathematics. — Dover Publications, 1981. — Т. 2. — ISBN 0-486-24074-6.