Стереометрия

Наука
Стереометрия
Tweevlakshoek(w)3.png
Тема Точная наука
Предмет изучения Геометрия
Основные направления математика, геометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός [стереос] — «твёрдый; объёмный, пространственный» и от др.-греч. μετρέω [метрео] — «измеряю») — раздел геометрии, изучающий свойства фигур в трёхмерном пространстве[1]. Основные объекты стереометрии включают точки, прямые линии, плоскости, многогранники (например, куб, призму, пирамиду), тела вращения (шар, цилиндр, конус) и различные комбинации этих объектов[2].

Изучение в школьном курсе

Школьный курс стереометрии, являясь логическим продолжением планиметрии и охватывает ключевые понятия и теоремы, необходимые для понимания трёхмерного пространства. В рамках курса изучаются аксиомы, определяющие структуру пространства, отношения параллельности и перпендикулярности между прямыми и плоскостями. Значительное внимание уделяется изучению многогранников и тел вращения, а также применению векторов для решения геометрических задач[3].

Содержание школьного курса стереометрии:

1. Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них: Этот раздел формирует фундамент курса, вводя аксиоматический метод в трёхмерном пространстве. Рассматриваются основные понятия: точка, прямая, плоскость, а также аксиомы, определяющие их взаимное расположение[4].

2. Параллельность в пространстве: Изучается параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей. Исследование взаимного расположения прямых и плоскостей, рассматриваются признаки параллельности, а также теорема о трёх параллельных прямых. Этот раздел важен для понимания базовых геометрических конструкций в пространстве[4].

3. Перпендикулярность в пространстве: Вводится понятие перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикуляра и наклонной, построение перпендикуляров и наклонных. Изучаются теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, а также теорема о трёх перпендикулярах. Этот раздел является ключевым для вычисления расстояний и углов[3].

4. Многогранники: Рассматриваются основные виды многогранников: призмы, пирамиды (правильные и неправильные), параллелепипеды, тетраэдры. Изучаются их свойства, элементы (вершины, рёбра, грани), а также способы вычисления площади поверхности и объёма. Особое внимание уделяется правильным многогранникам[4].

5. Тела вращения: Вводятся понятия цилиндра, конуса, шара и сферы. Рассматриваются их элементы, сечения, а также способы вычисления площади поверхности и объёма[3][4].

6. Элементы векторной алгебры в пространство: Введение понятия вектора в трёхмерном пространстве, действия над векторами, скалярное произведение векторов. Применение векторного метода к решению геометрических задач[4].

При изучении стереометрии в рамках школьной программы по геометрии ставятся следующие цели:

  • углубление и систематизация знаний, полученных в основной школе, с расширением математических подходов на трёхмерное пространство[5].
  • исследование характеристик геометрических фигур в пространстве[6].
  • освоение способов представления пространственных объектов на двумерной плоскости с применением принципов параллельного проектирования[6].
  • совершенствование навыков логического мышления учеников посредством решения задач и доказательства теорем, включённых в курс стереометрии[5].

Основные понятия стереометрии

Точка — абстрактный объект, не имеющий размеров, но определяющий положение в пространстве.

Прямая — бесконечное множество точек, расположенных вдоль одного направления[7].

Плоскость — бесконечное множество точек, образующих ровную поверхность.

Многогранник — тело, ограниченное плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Примеры многогранников: куб, призма, пирамида[8].

Тела вращения образуются при вращении плоской фигуры вокруг оси. Примеры тел вращения: цилиндр, конус, шар.

Объём — мера пространства, занимаемого телом[9].

Площадь поверхности — это сумма площадей всех граней многогранника или площадь боковой поверхности и оснований тела вращения.

Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии — это утверждения, принимаемые без доказательств и служащие основой для дальнейшего вывода остальных истинных утверждений (теорем). Эти аксиомы формируют основу пространственной геометрии и позволяют систематически исследовать отношения между точками, линиями и поверхностями в трёхмерном пространстве[10].

  1. Аксиома плоскости: Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна[2].
  2. Аксиома пересечения плоскостей: Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.
  3. Аксиома принадлежности прямой плоскости: Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.
  4. Аксиома разбиения пространства плоскостью: Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.
  5. Аксиома расстояния: Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измеримо[11].

Основные формулы стереометрии

Фигура Формула поверхности Формула объёма Примечания
Куб [12] [12] a — ребро куба
Параллепипед [12]  — площадь основания,  — площадь боковой поверхности, h — высота
Прямоугольный параллепипед [12]
Призма [13] [12]  — площадь основания,  — площадь боковой поверхности.
Пирамида [13] [12]  — площадь основания,  — площадь боковой поверхности, h — высота
Цилиндр [12][12] [12] r — радиус основания, h — высота,  — площадь основания,  — площадь боковой поверхности
Конус [12] [12] - площадь основания,  — площадь боковой поверхности, r — радиус основания, h — высота, - образующая
Сфера и шар [12] [12] де R — радиус

Примечания

  1. ↑ Стереометрия. Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 19 августа 2025.
  2. ↑ 2,0 2,1 Геометрия. 10-11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — С. 3—7. — 255 с. — ISBN 978-5-09-023710-9.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Федеральная рабочая программа среднего общего образования. Математика (базовый уровень). — М.: Минпросвещения России, Институт содержания и методов обучения им. В. С. Леднёва, 2025. — С. 32—34. — 89 с.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Федеральная рабочая программа среднего общего образования. Математика (углубленный уровень). — М.: ФГБНУ "Институт стратегии развития образования", 2023. — С. 39—41. — 81 с.
  5. ↑ 5,0 5,1 Сборник примерных рабочих программ. 10-11 классы / сост. Т. А. Бурмистров. — М.: Просвещение, 2020. — С. 3—6. — 159 с. — ISBN 978-5-09-072802-7.
  6. ↑ 6,0 6,1 Санина Е. И., Гришина О. А. Развитие пространственного мышления в процессе обучения стереометрии // Вестник РУДН : журнал. — 2013. — № 4. — С. 99—102.
  7. ↑ Атанасян Л. С. Геометрия. 7-9 классы. — М.: Просвещение, 1999. — С. 5. — 355 с. — ISBN 5-09-008749-0.
  8. ↑ Геометрия. 10-11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — С. 60. — 255 с. — ISBN 978-5-09-023710-9.
  9. ↑ Геометрия. 10-11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — С. 157. — 255 с. — ISBN 978-5-09-023710-9.
  10. ↑ Геометрия. 10-11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — С. 225. — 255 с. — ISBN 978-5-09-023710-9.
  11. ↑ Александров А. Д. Геометрия. 10 класс. — 3-е изд., дораб. — м.: Просвещение, 2005. — С. 14—19. — 270 с. — ISBN 5-09-013867-2.
  12. ↑ 12,00 12,01 12,02 12,03 12,04 12,05 12,06 12,07 12,08 12,09 12,10 12,11 12,12 Рурукин А. Н. Пособие по интенсивной подготовке к экзамену по математике. — М.: ВАКО, 2004. — С. 206—223. — 248 с. — ISBN 5-94665-127-7.
  13. ↑ 13,0 13,1 Геометрия. 10-11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2010. — С. 64—69. — 255 с. — ISBN 978-5-09-023710-9.
Источник — https://znanierussia.ru/articles/index.php?title=Стереометрия&oldid=1965183