Проекция Гаусса-Крюгера

Поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора

Прое́кция Га́усса-Крю́гера (Попере́чно-цилиндри́ческая прое́кция Мерка́тора) — геодезическая проекция, условно разделённая на всю поверхность Земли 60 зонами меридианами, проведёнными через 6°, где форма зоны — сферический двуугольник. Проекция Гаусса — Крюгера не имеет геометрической интерпретации. Она получена аналитически путём разложения комплексной функции от изометрических координат в степенной ряд. Данная проекция характеризуется тремя ключевыми особенностями: она конформна (равноугольна), масштабы длин сохраняются вдоль осевого меридиана, а также обеспечивается симметрия относительно осевого меридиана и экватора. По своей сути является поперечно цилиндрической проекцией. Цилиндр соприкасается с центральным меридианом зоны, и на этот цилиндр проецируется вся зона.

История

В 1772 году Джон Ламберт создал сферическую интерпретацию поперечно-цилиндрической проекции. Равноугольная система координат, известная как проекция Гаусса-Крюгера, впервые предложена немецким учёным Карлом Гауссом для триангуляции в Ганновере (1821—1825 годы). Позднее, в 1912 и 1919 годах, немецкий геодезист Луи Крюгер внёс в неё усовершенствования. В итоге система стала называться проекцией Гаусса-Крюгера.

Принцип и применение

Вся земная поверхность разбита на зоны ограниченные меридианами отстоящими друг от друга на 6°, с порядковой нумерацией начиная от Гринвичского меридиана на восток. Всего 60 зон. Для каждой зоны точкой отсчёта является пересечение осевого меридиана с экватором. Средний меридиан зоны является осью абсцисс, экватор — осью ординат.

В результате исследований показано, что для достижения оптимальных результатов, территорию следует разделить на сектора, ограниченные меридианами, расположенными на расстоянии 6° друг от друга. Данная геометрическая форма именуется сферическим двуугольником, охватывающим 180° по широте (от одного полюса до другого) и 6° по долготе. Хотя площадь данной зоны увеличивается в проекции Гаусса, относительное искажение длины на границе сектора, вдали от центрального меридиана на экваторе, не превысит 1/800. Наибольшее искажение длины внутри сектора достигает +0,14 %, а площади — +0,27 %. На территории России эти показатели ещё ниже, составляя примерно 1/1400.

В 1928 году, в рамках третьего геодезического съезда, для обеспечения единообразия геодезических и топографических изысканий на территории СССР утверждена проекция Гаусса-Крюгера. В качестве основы выбран эллипсоид Бесселя. Решение дало старт разработке топографических карт, с масштабами более крупными, чем 1:500 000. С 1939 года проекция стала стандартом и для карт масштаба 1:500 000. В апреле 1946 года, постановлением правительства официально установлены параметры референц-эллипсоида Красовского и введены новые исходные данные, определившие систему координат 1942 года.

При применении проекции Гаусса-Крюгера эллипсоидальная поверхность проецируется на плоскость, разделённую на меридиональные зоны. Ширина этих зон установлена в 6° для карт, охватывающих масштабы от 1:500 000 до 1:10 000, и сужена до 3° для более детальных карт масштабов от 1:5 000 до 1:2 000. Меридианы и параллели отображаются изогнутыми линиями, обладающими симметрией относительно центрального меридиана зоны и экватора. Из-за небольшой кривизны западная и восточная границы карты могут быть представлены прямыми линиями. Северная и южная границы, соответствующие параллелям, изображаются прямыми на картах крупных масштабов (от 1:2 000 до 1:50 000), но становятся кривыми на картах более мелких масштабов. Начало отсчёта прямоугольных координат для каждой зоны находится в точке пересечения осевого меридиана зоны с экватором. В Российской Федерации нумерация зон имеет отличие от нумерации колонн карты масштаба 1:1 000 000, смещаясь на тридцать единиц.

Свойства

Градусная сетка

Проекция Гаусса-Крюгера относится к типу поперечно-цилиндрических проекций. В ней экватор и главный меридиан отображаются в виде прямых линий. Все остальные меридианы трансформируются в изогнутые кривые, которые сходятся к главному меридиану. Параллели также представлены в виде изогнутых линий, вогнутых в сторону полюсов. Полюса в проекции представлены точками. Получается сетка, обладающая симметрией относительно экватора и главного меридиана. Однако, из-за вычислительных особенностей, градусная сетка обычно ограничивается диапазоном в 45° от главного меридиана.

Искажения

Проекция Гаусса-Крюгера характеризуется как равноугольная система, что означает сохранение углов, а также площадей на очень малых участках карты. Направления, однако, могут быть искажены. Расстояния наиболее точны вдоль центрального меридиана, когда масштабный коэффициент равен единице. При коэффициенте, меньше единицы, точный масштаб поддерживается на двух параллельных линиях, близких к центральному меридиану, если используется эллипсоид. По мере удаления от центрального меридиана или указанных линий постоянного масштаба, искажения площадей и расстояний заметно увеличиваются. При этом, величины этих искажений симметричны относительно экватора и центрального меридиана.

Преимущества и недостатки

Преимущества проекции Гаусса-Крюгера:

• небольшое число зон, каждая из которых охватывает значительную территорию, ограниченную двумя меридианами с разностью долгот в 3° или 6°;
• умеренное и легко учитываемое изменение масштабов в пределах зон;
• единообразие всех зон;
• универсальность и глобальность координатных систем.

Недостатки проекции Гаусса-Крюгера:

• отсутствие единой системы координат, вследствие чего при моделировании объектов, расположенных в нескольких зонах, возникают определённые проблемы;
• высокие искажения на краях зон.