Математическое доказательство

Материал из «Знание.Вики»
Пример построения математического доказательства.
Теорема Пифагора

Математи́ческие доказа́тельства — строгие логические рассуждения, рассуждение с целью обосновать истинность какого-либо суждения. Цели доказательств в математике и других науках различны[1].

Виды

Прямые доказательства представляют собой последовательность шагов, где каждый последующий выводится из предыдущего логически. Это позволяет убедительно подтвердить истинность утверждения.

Примерами прямых доказательств являются дедуктивные выводы и метод математической индукции. При использовании дедуктивных выводов каждый последующий шаг строится на основе предыдущего, обеспечивая логическую цепочку. Метод математической индукции применяется для доказательства верности утверждения для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового утверждения.

Косвенные доказательства оперируют аргументами, не прямо связанными с исходным утверждением. Они используются для опровержения утверждения путем приведения к противоречию.

Косвенные и прямые доказательства, имеют совершенно разную структуру. Прямое доказательство обычно представляет собой последовательную цепочку логических шагов, которые даже неспециалисту в данной области, будь то математика или иная наука, кажутся понятными и логичными. Однако косвенное доказательство может показаться непоследовательным и непонятным для обычного человека, так как требует особого мыслительного подхода и может казаться далеким от логики повседневного мышления. Важно учитывать эти особенности при анализе различных видов доказательств[2].

История

История понятия доказательства непосредственно связана с историей развития логики как науки. Логика была неотъемлемой частью практической риторики. Умение вести публичные выступления, дискуссии и убеждать аудиторию было особенно ценно у древних греков и стало объектом глубокого изучения в учебных заведениях, известных как школы софистов. Первоначально под софистами понимали мудрецов, чьи взгляды в разнообразных сферах знания признавались авторитетными. Затем это слово стало обозначать людей, которые обучали искусству красноречия, умению убедительно отстаивать свою позицию и опровергать мнения оппонентов. Различные методы формирования выводов, аргументации и опровержения, то есть элементы, которые формируют основу логики, были ключевыми для софистов.

В странах Древнего Востока (Вавилоне, Древнем Египте, Древнем Китае) решение математических задач были без обоснованными и догматичными, хотя чертежное обоснование теоремы Пифагора можно встретить на вавилонских клинописных табличках. Понятия доказательства не существовало и в Древней Греции в VIIIVII веках до н. э. Однако уже в VI веке до н. э. в Греции логическое доказательство становится основным методом нахождения истины. В это время были построены первые математические теории, которые имели вполне современный вид, то есть строились из логических умозаключений.

В первых доказательствах использовались простейшие логические цепочки. В частности Фалес Милетский, доказавший что диаметр окружности делит ее пополам, углы равнобедренного треугольника при основании равны, равные углы образуются пересекающимися прямыми, предположительно, использовал в своих доказательствах методы перегибания и наложения фигур. По словам греческого философа Прокла (V век н. э.) . Уже при Пифагоре доказательство переходит от конкретных представлений к чисто логическим заключениям. В доказательствах Парменида используется закон исключённого третьего, а его ученик Зенон в апориях пользуется приведением к абсурду[3].

Рекомендации

Умение проводить математические доказательства является важным навыком как для учащихся, изучающих математику, так и для профессиональных математиков. Владение этим навыком способствует развитию аналитического мышления и позволяет строить логически обоснованные рассуждения в различных областях науки и техники.

Для того, чтобы более глубоко изучить тему «математических доказательств», стоит обратить внимание на теорию доказательств, включенную в раздел математики — математической логики, которое впервые было разработано выдающимся математиком Давидом Гильбертом. Помимо этого, для расширения своих знаний можно изучить различные пособия по основам математического анализа и углубиться в изучение математического анализа. Приобретение дополнительных знаний в этих областях поможет лучше понять и оценить методы и принципы математического исследования. Повышение качества знаний в данной области ведет к повышению специальных навыков в области математики[3].

Примечания

  1. Бедняков И. Л. Теория доказательств в уголовном процессе. — Самарский юридический институт ФСИН России, 2017. — С. 5—15. — 147 с.
  2. Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. — М.,: Советское радио, 1979. — С. 10—25. — 88 с.
  3. 3,0 3,1 Юшкевич А. П. История математики. С древнейших времён до начала Нового времени / Под редакцией Юшкевича А. П.. — М,: Наука, 1970. — С. 35—60. — 303 с.
WLW Checked Off icon.svg Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!