Скалярное произведение

Наука
Математика
Область математики
Тема	Скалярное произведение
Предмет изучения	действия с векторами
Период зарождения	середина XIX века
Основные направления	Математика Аналитическая геометрия
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ
Значительные учёные	Рене Декарт

Скалярное произведение (иногда называемое внутренним произведением) — это число, которое получается в результате перемножения двух векторов. В программировании его используют для вычисления углов между объектами, проверки их направленности, нахождения проекций, вычисления длины векторов, расчёта освещения в графике и решения других задач, связанных с физическими симуляциями.

Например, скалярное произведение помогает определить угол между персонажем и камерой, что важно для управления её ориентацией и полем обзора. Оно также используется для построения навигации, механики стрельбы и позволяет точно рассчитать освещение объектов в компьютерной графике.

История

Основоположником изучения векторов в системе координат является французский математик Рене Декарт, который считается основателем создания современного метода координат. Он родился 31 марта 1596 года. Получив религиозное образование в колледже Ла Флеш, он начал изучать юридические вопросы, занимаясь математикой. Во время военной службы в голландской армии он принимал участие в битве за Прагу. После возвращения во Францию ему приходилось переезжать, так как его обвиняли в ереси и труды, которые писал долгие годы не признавались.

Самым известным трудом Декарта стала его «Геометрия». Декарт ввёл систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввёл алгебраический метод в геометрию. Он был основателем современной прямоугольной системы координат, которая теперь носит его имя. Таким образом прямоугольную систему координат называют также Декартова система координат.

Также Рене Декарт ввёл понятие переменной величины и функции. Где переменная величина являлась отрезком переменной длины и постоянного направления. Также она представлялась как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, составляющих координатный отрезок. Такое двоякое определение переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры, к которому стремился Декарт. Алгебра Декарта имеет всегда один основной элемент — линейный отрезок, операции над которым приводят опять-таки к некоторому отрезку. Эти отрезки по свойствам равносильны действительным числам. У Декарта действительное число выступало как отношение длины отрезка к единичному. Декарт ввёл общепринятые в настоящее время знаки для переменных и искомых величин, для буквенных коэффициентов, а также степеней.

Ещё одним открытием Декарта стало скалярное произведение векторов. Если определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении классической геометрии), то скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними. По мнению Декарта, скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора $x$ на проекцию вектора $y$ на вектор $x$. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Определение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними. За угол между векторами принимают угол между содержащими их прямыми, величина которого принадлежит промежутку $[\pi ;0]$.

Скалярное произведение векторов ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ обозначается через ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ или ${\vec {a}}{\vec {b}}$. Таким образом, по определению:

${\vec {a}}{\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})$.

Из определения скалярного произведения легко получить следующую формулу:

$\cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})={{\vec {a}}{\vec {b}} \over |{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|}$.

Хотя явного вычисления угла в ней нет, она называется формулой для вычисления угла между векторами, поскольку углы в аналитической геометрии в практических целях представляются своими тригонометрическими функциями (разве что за исключением тех случаев, когда углы легко вычисляются по своим тригонометрическим функциям).

Свойства

Свойства скалярного произведения:

1. Так как скалярное произведение есть число, то от перемены мест множителей произведение не меняется: ${\vec {a}}{\vec {b}}={\vec {b}}{\vec {a}}$.
2. Распределительное свойство применяется и к векторам: $({\vec {a}}+{\vec {b}}){\vec {c}}={\vec {a}}{\vec {c}}+{\vec {b}}{\vec {c}}$.
3. Если при умножении двух векторов одно из них умножается на число, то это число можно вынести, затем умножить два вектора и результат умножить на это число: $(\lambda {\vec {a}}){\vec {b}}=\lambda ({\vec {a}}{\vec {b}}),\lambda \in R$.
4. Если если векторы ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ не равны нулю, ${\vec {a}}\neq {\vec {0}},{\vec {b}}\neq {\vec {0}}$, то вектор ${\vec {a}}$ перпендикулярен вектору ${\vec {b}}$, то есть ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$, тогда и только тогда, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю: ${\vec {a}}{\vec {b}}=0$. То есть, для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
5. Скалярное произведение ${\vec {a}}{\vec {a}}$ обозначают ${\vec {a}}^{2}$ и называют скалярным квадратом вектора ${\vec {a}}$. Очевидно, что ${\vec {a}}^{2}=|{\vec {a}}|^{2}$ или $|{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}^{2}}}$.

Теорема. Если векторы ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ заданы своими проекциями на координатные оси, то есть ${\vec {a}}(a_{x};a_{y};a_{z}),{\vec {b}}(b_{x};b_{y};b_{z})$, тогда ${\vec {a}}{\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$.

Замечание. Обозначим проекцию вектора ${\vec {b}}$ на ось, сонаправленную ${\vec {a}}$, через Пр$_{\vec {a}}{\vec {b}}$. Так как Пр$_{\vec {a}}{\vec {b}}=|{\vec {b}}|\cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})$ тогда из формулы ${\vec {a}}{\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})$ получаем ${\vec {a}}{\vec {b}}=|{\vec {a}}|$Пр$_{\vec {a}}{\vec {b}}$, откуда Пр$_{\vec {a}}{\vec {b}}={{\vec {a}}{\vec {b}} \over |{\vec {a}}|}$. Это число можно назвать проекцией вектора ${\vec {b}}$ на вектор ${\vec {a}}$.

Путь вектор ${\vec {a}}$ задан своими прямоугольными координатами ${\vec {a}}(a_{x};a_{y};a_{z})$ тогда модуль вектора, который является его длиной, находится по следующей формуле:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$.

Примеры

Пример 1. Известно, что $|{\vec {a}}|=3,|{\vec {b}}|=2,({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})={\pi \over 3}$ Найти: а) ${\vec {a}}{\vec {b}}$; б) $(3{\vec {a}}-{\vec {b}})(2{\vec {a}}-{\vec {b}})$

Решение. Используя равенство ${\vec {a}}{\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})$ и свойства скалярного произведения, получаем:

а) ${\vec {a}}{\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos {\pi \over 3}=3\cdot 2\cdot {1 \over 2}=3$.

б) $(3{\vec {a}}-{\vec {b}})(2{\vec {a}}-{\vec {b}})=6{\vec {a}}^{2}-3{\vec {a}}{\vec {b}}-2{\vec {b}}{\vec {a}}+{\vec {b}}^{2}=6\cdot 9-5\cdot 3+4=43$

Ответ: а) 3; б) 43.

Пример 2. Даны вершины четырёхугольника ABCD: A(-1; 4; 3), B(0; 8; 1), C(-4; 4; 5), D(4; -3; 7). Доказать, что диагонали AC, BD, перпендикулярны.

Решение. Найдём координаты векторов ${\vec {AC}},{\vec {BD}}$: ${\vec {AC}}(-3;0;2)$ и ${\vec {BD}}(4;-11;6)$. Используя теорему получим:

${\vec {AC}}\cdot {\vec {BD}}=-3\cdot 4+0\cdot (-11)+2\cdot 6=0$.

Согласно свойству 4 скалярного произведения имеем:

${\vec {AC}}\perp {\vec {BD}}$.

Пример 3. Даны точки A(2; 4; 1), B(3; 4; 2), C(2; 3; 0). Вычислить угол между векторами ${\vec {CA}},{\vec {CB}}$.

Решение. Найдём координаты векторов ${\vec {CA}},{\vec {CB}}$. ${\vec {CA}}(0;1;1)$ и ${\vec {CB}}(1;1;2)$. Следовательно, ${\vec {CA}}\cdot {\vec {CB}}=0\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 2=3$, $|{\vec {CA}}|={\sqrt {2}},|{\vec {CB}}|={\sqrt {6}}$.

Далее, используя формулу $\cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})={{\vec {a}}{\vec {b}} \over |{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|}$ можно получить:

$\cos({\widehat {{\vec {CA}};{\vec {CB}}}})={3 \over {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {\vec {6}}}}={3 \over 2{\sqrt {3}}}={{\sqrt {3}} \over 2}$.

Следовательно, $\angle ({\hat {{\vec {CA}};{\vec {CB}}}})=\arccos {{\sqrt {3}} \over 2}={\pi \over 6}$.

Ответ: ${\pi \over 6}$

Скалярное произведение также используется в физике: работа A постоянной силы F при прямолинейном перемещении S её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения $A={\vec {F}}\cdot {\vec {S}}$.

Пример 4. Найти работу силы ${\vec {F}}=3{\vec {i}}+4{\vec {j}}+{\vec {k}}$ при прямолинейном перемещении точки из положения M(-2; -1; 5) в положение B(3; 0; -1).

Решение. Вектор перемещения равен ${\vec {MB}}=(5;1;-6)$. Тогда $A={\vec {F}}\cdot {\vec {MB}}=3\cdot 5+4\cdot 1+1\cdot (-6)=13$.

Ответ: 13.