Скалярное произведение

Наука
Математика
Область математикиОбласть математики
Тема	Скалярное произведение
Предмет изучения	действия с векторами
Период зарождения	середина XIX века
Основные направления	Математика Аналитическая геометрия
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ
Значительные учёные	Рене Декарт

Скалярное произведение (иногда называемое внутренним произведением) — это число, которое получается в результате перемножения двух векторов. В программировании его используют для вычисления углов между объектами, проверки их направленности, нахождения проекций, вычисления длины векторов, расчёта освещения в графике и решения других задач, связанных с физическими симуляциями.

Например, скалярное произведение помогает определить угол между персонажем и камерой, что важно для управления её ориентацией и полем обзора. Оно также используется для построения навигации, механики стрельбы и позволяет точно рассчитать освещение объектов в компьютерной графике.

История

Основоположником изучения векторов в системе координат является французский математик Рене Декарт, который считается основателем создания современного метода координат. Он родился 31 марта 1596 года. Получив религиозное образование в колледже Ла Флеш, он начал изучать юридические вопросы, занимаясь математикой. Во время военной службы в голландской армии он принимал участие в битве за Прагу. После возвращения во Францию ему приходилось переезжать, так как его обвиняли в ереси и труды, которые писал долгие годы не признавались.

Самым известным трудом Декарта стала его «Геометрия». Декарт ввёл систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввёл алгебраический метод в геометрию. Он был основателем современной прямоугольной системы координат, которая теперь носит его имя. Таким образом прямоугольную систему координат называют также Декартова система координат.

Также Рене Декарт ввёл понятие переменной величины и функции. Где переменная величина являлась отрезком переменной длины и постоянного направления. Также она представлялась как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, составляющих координатный отрезок. Такое двоякое определение переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры, к которому стремился Декарт. Алгебра Декарта имеет всегда один основной элемент — линейный отрезок, операции над которым приводят опять-таки к некоторому отрезку. Эти отрезки по свойствам равносильны действительным числам. У Декарта действительное число выступало как отношение длины отрезка к единичному. Декарт ввёл общепринятые в настоящее время знаки для переменных и искомых величин, для буквенных коэффициентов, а также степеней.

Ещё одним открытием Декарта стало скалярное произведение векторов. Если определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении классической геометрии), то скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними. По мнению Декарта, скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} на проекцию вектора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} на вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} . Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Определение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними. За угол между векторами принимают угол между содержащими их прямыми, величина которого принадлежит промежутку Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [\pi;0]} .

Скалярное произведение векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}} обозначается через Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}} или ${\vec {a}}{\vec {b}}$. Таким образом, по определению:

${\vec {a}}{\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})$.

Из определения скалярного произведения легко получить следующую формулу:

$\cos({\widehat {{\vec {a}};{\vec {b}}}})={{\vec {a}}{\vec {b}} \over |{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|}$.

Хотя явного вычисления угла в ней нет, она называется формулой для вычисления угла между векторами, поскольку углы в аналитической геометрии в практических целях представляются своими тригонометрическими функциями (разве что за исключением тех случаев, когда углы легко вычисляются по своим тригонометрическим функциям).

Свойства

Свойства скалярного произведения:

1. Так как скалярное произведение есть число, то от перемены мест множителей произведение не меняется: ${\vec {a}}{\vec {b}}={\vec {b}}{\vec {a}}$.
2. Распределительное свойство применяется и к векторам: $({\vec {a}}+{\vec {b}}){\vec {c}}={\vec {a}}{\vec {c}}+{\vec {b}}{\vec {c}}$.
3. Если при умножении двух векторов одно из них умножается на число, то это число можно вынести, затем умножить два вектора и результат умножить на это число: $(\lambda {\vec {a}}){\vec {b}}=\lambda ({\vec {a}}{\vec {b}}),\lambda \in R$.
4. Если если векторы ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ не равны нулю, ${\vec {a}}\neq {\vec {0}},{\vec {b}}\neq {\vec {0}}$, то вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} перпендикулярен вектору Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}} , то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\perp\vec{b}} , тогда и только тогда, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}=0} . То есть, для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
5. Скалярное произведение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{a}} обозначают Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^2} и называют скалярным квадратом вектора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} . Очевидно, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^2=|\vec{a}|^2} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}} .

Теорема. Если векторы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}} заданы своими проекциями на координатные оси, то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(a_x;a_y;a_z), \vec{b}(b_x;b_y;b_z)} , тогда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z} .

Замечание. Обозначим проекцию вектора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}} на ось, сонаправленную Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} , через ПрНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _\vec{a} \vec{b}} . Так как ПрНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _\vec{a} \vec{b}=|\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a};\vec{b}})} тогда из формулы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \cos(\widehat{\vec{a};\vec{b}})} получаем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}|} ПрНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _\vec{a} \vec{b}} , откуда ПрНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle _\vec{a} \vec{b}={\vec{a}\vec{b} \over |\vec{a}|}} . Это число можно назвать проекцией вектора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}} на вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} .

Путь вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} задан своими прямоугольными координатами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(a_x;a_y;a_z)} тогда модуль вектора, который является его длиной, находится по следующей формуле:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}} .

Примеры

Пример 1. Известно, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{a}|=3, |\vec{b}|=2, (\widehat{\vec{a};\vec{b}})={\pi \over 3}} Найти: а) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}} ; б) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (3\vec{a}-\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})}

Решение. Используя равенство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \cos(\widehat{\vec{a};\vec{b}})} и свойства скалярного произведения, получаем:

а) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \cos{\pi \over 3}=3\cdot2\cdot{1 \over 2}=3} .

б) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (3\vec{a}-\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=6\vec{a}^2-3\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}\vec{a}+\vec{b}^2=6\cdot9-5\cdot3+4=43}

Ответ: а) 3; б) 43.

Пример 2. Даны вершины четырёхугольника ABCD: A(-1; 4; 3), B(0; 8; 1), C(-4; 4; 5), D(4; -3; 7). Доказать, что диагонали AC, BD, перпендикулярны.

Решение. Найдём координаты векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{AC}, \vec{BD}} : Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{AC} (-3; 0; 2)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{BD} (4;-11;6)} . Используя теорему получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{AC}\cdot\vec{BD}=-3\cdot4+0\cdot(-11)+2\cdot6=0} .

Согласно свойству 4 скалярного произведения имеем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{AC}\perp\vec{BD}} .

Пример 3. Даны точки A(2; 4; 1), B(3; 4; 2), C(2; 3; 0). Вычислить угол между векторами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{CA}, \vec{CB}} .

Решение. Найдём координаты векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{CA}, \vec{CB}} . Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{CA} (0; 1; 1)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{CB} (1;1;2)} . Следовательно, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{CA}\cdot\vec{CB}=0\cdot1+1\cdot1+1\cdot2=3} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{CA}|=\sqrt{2}, |\vec{CB}|=\sqrt{6}} .

Далее, используя формулу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\widehat{\vec{a};\vec{b}})={\vec{a}\vec{b} \over |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}} можно получить:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\widehat{\vec{CA};\vec{CB}})={3 \over \sqrt{2}\cdot\sqrt{\vec{6}}}={3 \over 2\sqrt{3}}={\sqrt{3} \over 2}} .

Следовательно, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \angle(\hat{\vec{CA};\vec{CB}})=\arccos{\sqrt{3} \over 2}={\pi \over 6}} .

Ответ: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\pi \over 6}}

Скалярное произведение также используется в физике: работа A постоянной силы F при прямолинейном перемещении S её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=\vec{F}\cdot\vec{S}} .

Пример 4. Найти работу силы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}} при прямолинейном перемещении точки из положения M(-2; -1; 5) в положение B(3; 0; -1).

Решение. Вектор перемещения равен Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{MB}=(5;1;-6)} . Тогда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=\vec{F}\cdot\vec{MB}=3\cdot5+4\cdot1+1\cdot(-6)=13} .

Ответ: 13.