Правильный треугольник

Правильный треугольник
Правильный треугольник

Пра́вильный треуго́льник — это геометрическая фигура, представляющая собой треугольник с тремя равными сторонами. Как частный случай равнобедренного треугольника[1], он обладает уникальными свойствами, делающими его одним из основных объектов изучения в геометрии. Все внутренние углы такого треугольника равны 60°[2], что автоматически делает его правильным многоугольником с символом Шлефли[3].

Основные свойства

Правильный треугольник характеризуется полным совпадением всех линейных и угловых элементов. Высота, медиана и биссектриса, проведённые из любой вершины, представляют собой одну и ту же прямую. Периметр вычисляется как утроенная длина стороны:

P = 3a,

где a — длина стороны[3].

Для треугольника со стороной a основные метрические характеристики определяются следующими формулами:

  • Высота:

  • Площадь:

  • Радиус описанной окружности:

  • Радиус вписанной окружности:

Высота правильного треугольника может быть выведена через теорему Пифагора[4] как квадратный корень из разности квадрата стороны и квадрата половины основания.

Симметрия

Правильный треугольник обладает симметрией диэдральной группы порядка шесть[5], что означает наличие шести различных преобразований, переводящих фигуру в себя. Эти преобразования включают три поворота на углы 0°, 120° и 240° вокруг центра, а также три отражения относительно осей, проходящих через вершины и середины противолежащих сторон.

Описанная и вписанная окружности

Для правильного треугольника радиус описанной окружности связан с длиной стороны соотношением:

Между радиусами описанной и вписанной окружностей выполняется универсальное неравенство:

причём равенство достигается именно для правильного треугольника[6].

Центр описанной окружности совпадает с центроидом треугольника, что является уникальным свойством среди всех треугольников.

Классические теоремы

Теорема Вивиани

Сумма расстояний от любой внутренней точки правильного треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника[7]. Это свойство не зависит от положения точки внутри фигуры.

Теорема Помпею

Для произвольной точки P в плоскости правильного треугольника ABC, не лежащей на описанной окружности, расстояния PA, PB и PC могут служить сторонами некоторого треугольника[8]. Если точка лежит на описанной окружности, то эти расстояния образуют вырожденный треугольник.

Неравенство Эрдёша — Морделла

Для любой внутренней точки правильного треугольника отношение суммы расстояний от неё до вершин к сумме расстояний до сторон принимает минимальное значение, равное 2[9].

Построения

Правильный треугольник может быть построен циркулем и линейкой, поскольку число его сторон (3) является числом Ферма[10]. Классическое построение, описанное в первом предложении «Начал» Евклида, заключается в построении двух пересекающихся окружностей одинакового радиуса и соединении их центров с точкой пересечения.

Применения

Правильные треугольники образуют одну из трёх правильных мозаик плоскости[11], где в каждой вершине сходятся шесть треугольников. Дуальной к этой мозаике является шестиугольная мозаика.

В трёхмерном пространстве правильные треугольники служат гранями дельтаэдров[12] — многогранников, все грани которых представляют собой равносторонние треугольники. К ним относятся три из пяти платоновых тел: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

В молекулярной химии равносторонний треугольник соответствует тригональной плоской молекулярной геометрии[13], где центральный атом связан с тремя другими атомами, расположенными в одной плоскости.

Треугольник также находит применение в архитектуре и дизайне, включая такие знаковые сооружения, как поперечное сечение арки Гейтвея и поверхность скульптуры «Яйцо Вегревилля».

Задачи оптимизации

В задачах оптимального размещения точек на сфере равносторонний треугольник играет важную роль. Для случая трёх точек оптимальная конфигурация в рамках проблемы Томсона и задачи Таммеса представляет собой вершины равностороннего треугольника, вписанного в большой круг сферы[14].

Литература

  • Майсеня Л. Справочник по математике. Основные понятия и формулы.
  • Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 т.. — М.: МЦНМО, 2004.
  • Conway J.H., Guy R.K. The Book of Numbers. — Springer-Verlag, 1996.
  • Dörrie H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics. — Dover Publications, 1965.

Примечания

  1. ↑ Stahl, Saul. Geometry from Euclid to Knots. — Prentice-Hall, 2003.
  2. ↑ Людмила Майсеня. Справочник по математике. Основные понятия и формулы.
  3. ↑ 3,0 3,1 Harris, John W.; Stocker, Horst. Handbook of mathematics and computational science. — New York: Springer-Verlag, 1998.
  4. ↑ McMullin, Daniel; Parkinson, Albert Charles. An Introduction to Engineering Mathematics // Cambridge University Press. — 1936. — Vol. 1.
  5. ↑ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko. Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities // Forum Geometricorum. — 2012. — № 12. — P. 197–209.
  6. ↑ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko. Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities // Forum Geometricorum. — 2012. — № 12. — P. 197–209.
  7. ↑ Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 т.. — М.: МЦНМО, 2004.
  8. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics // Mathematical Association of America. — 2010.
  9. ↑ Lee, Hojoo. Another proof of the Erdős–Mordell Theorem // Forum Geometricorum. — № 1: 7–8.
  10. ↑ Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence. 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry // CMS Books in Mathematics. — New York: Springer-Verlag, 2001. — Vol. 9. — doi:10.1007/978-0-387-21850-2.
  11. ↑ Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey. Tilings by Regular Polygons // Mathematics Magazine. — 1977. — № 50 (5). — doi:10.2307/2689529.
  12. ↑ Trigg, Charles W. An infinite class of deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — № 51 (1). — doi:10.1080/0025570X.1978.11976675.
  13. ↑ Petrucci, R. H.; Harwood, W. S.; Herring, F. G. General Chemistry: Principles and Modern Applications. — 8th ed.. — Prentice Hall, 2002.
  14. ↑ Whyte, L. L. Unique arrangements of points on a sphere // The American Mathematical Monthly. — 1952. — № 59 (9). — P. 606–611. — doi:10.1080/00029890.1952.11988207.
Источник — https://znanierussia.ru/articles/index.php?title=Правильный_треугольник&oldid=1946585