Правильный треугольник

Пра́вильный треуго́льник — геометрическая фигура, представляющая собой треугольник с тремя равными сторонами. Как частный случай равнобедренного треугольника, он обладает уникальными свойствами, делающими его одним из основных объектов изучения в геометрии.

Правильный треугольник

Основные свойства

Правильный (равносторонний) треугольник характеризуется равенством всех сторон и всех внутренних углов. Все его стороны имеют одинаковую длину, а каждый внутренний угол равен 60°.

Высота (перпендикуляр, опущенный из вершины на основание треугольника), медиана (отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны) и биссектриса (отрезок, делящий угол пополам), проведённые из любой вершины, представляют собой одну и ту же прямую. В правильном треугольнике это свойство выполняется для всех трёх вершин. Периметр такого треугольника вычисляется как утроенная длина стороны:

P = 3a, где a — длина стороны, P — периметр.

Для треугольника со стороной a основные метрические характеристики определяются следующими формулами, где:

• a — длина стороны;
• h — высота;
• S — площадь;
• R — радиус описанной окружности;
• r — радиус вписанной окружности.

Высота:

$h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

• Площадь:

$S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}$

• Радиус описанной окружности:

$R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a$

• Радиус вписанной окружности:

$r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$

Вывод формулы высоты через теорему Пифагора

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Высота правильного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них:

• гипотенуза с равна стороне исходного треугольника (a);
• один катет a равен половине основания (a/2);
• второй катет b — искомая высота (h).

Применяя теорему Пифагора:

a² = h² + (a/2)²

h² = a² − a²/4 = 3a²/4

h = a√3/2.

Базовые теоремы геометрии

Теорема о сумме углов треугольника. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Поскольку в правильном треугольнике все углы равны, каждый из них составляет 180° ÷ 3 = 60°.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема о признаках равенства треугольников. Правильный треугольник иллюстрирует признак равенства «по трём сторонам» (третий признак): если все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники равны.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой. В правильном треугольнике это свойство выполняется для всех трёх вершин.

Симметрия

Правильный треугольник имеет группу симметрий, изоморфную диэдральной группе порядка 6, обозначаемой D₃ (или Dih₃). Диэдральная группа — это математическое понятие из теории групп, описывающее совокупность всех симметрий правильного многоугольника, включая повороты и отражения.

Для правильного треугольника это означает наличие шести различных преобразований, сохраняющих фигуру неизменной:

• три поворота: на 0° (тождественное преобразование), 120° и 240° вокруг центра треугольника;
• три осевые симметрии: отражения относительно прямых, проходящих через каждую вершину и середину противоположной стороны.

Описанная и вписанная окружности

Для правильного треугольника радиус описанной окружности связан с длиной стороны соотношением:

$R={\frac {\sqrt {a}}{3}}$

где a — длина стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Между радиусами описанной и вписанной окружностей выполняется универсальное неравенство:

$R\eqslantless 2r$

где R — радиус описанной окружности и r — радиус вписанной окружности, причём равенство R = 2r достигается только для правильного (равностороннего) треугольника. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центроидом (как и с другими основными центрами треугольника), что является уникальным свойством среди всех треугольников.

Классические теоремы

Теорема Вивиани

Сумма расстояний от любой внутренней точки правильного треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Это свойство не зависит от положения точки внутри фигуры.

Теорема Помпею

Для произвольной точки P в плоскости правильного треугольника ABC, не лежащей на его описанной окружности, расстояния PA, PB и PC могут служить сторонами некоторого треугольника. Если точка P лежит на описанной окружности, то эти расстояния образуют вырожденный треугольник.

Неравенство Эрдёша — Морделла

Для любой внутренней точки правильного треугольника отношение суммы расстояний от неё до вершин к сумме расстояний до сторон не меньше 2. Равенство достигается в центре треугольника.

Применения

Равносторонние треугольники образуют правильную мозаику плоскости, при которой в каждой вершине сходятся шесть треугольников. Дуальной к ней является мозаика из правильных шестиугольников.

В трёхмерном пространстве правильные треугольники служат гранями дельтаэдров — многогранников, все грани которых являются треугольными. К ним относятся три из пяти платоновых тел: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

В молекулярной химии равносторонний треугольник соответствует тригональной плоской молекулярной геометрии, где центральный атом связан с тремя другими атомами, расположенными в одной плоскости.

Треугольные формы и элементы также широко применяются в архитектуре и дизайне. В частности, они используются в конструктивных решениях таких сооружений, как Арка Гейтвея, поперечное сечение которой имеет форму равностороннего треугольника, и Яйцо Вегревилля, поверхность которого образована треугольными панелями.

Литература

• Майсеня Л. Справочник по математике. Основные понятия и формулы.
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 т.. — М.: МЦНМО, 2004.
• Conway J.H., Guy R.K. The Book of Numbers. — Springer-Verlag, 1996.
• Dörrie H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics. — Dover Publications, 1965.