Пи (число)

Пи (число) — это математическая постоянная величина. Обозначается буквой греческого алфавита «π». Число Пи бесконечно и имеет бесконечное количество знаков после запятой. Рассчитать число Пи можно несколькими способами. Значение числа Пи определяется как отношение длины окружности к её диаметру. Существует несколько способов вычисления числа Пи: методы вписанных и описанных многоугольников, с помощью рядов, иглы Буффона, с использованием предельных теорем.

Если диаметр окружности равен единице, то длина окружности — это число «пи»

История измерений числа Пи

Древние вавилонские математические тексты (3—2 века до н. э.) содержат следующее соотношение: $S={\frac {C^{2}}{12}}$, где S — площадь круга, а C — длина окружности. Неизвестен способ, использованный для вывода этой формулы. Если в неё подставить выражение для площади круга $S=\pi R^{2}$и длины окружности $C=2\pi R$, то из равенства $\pi R^{2}={\frac {(2\pi R)^{2}}{12}}$ выходит, что число π = 3, которую использовали древние вавилоняне.

Греческое буква Пи, обозначение

В Древнем Египте вывели более точное значение для числа π. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, обнаруженного в 1858 году и приобретенного антикваром Генри Рейндом, в честь которого он получил название «папирус Ринда» (или Рейнда). Эту древнюю рукопись относят к периоду между 2000 и 1700 годами до нашей эры. В папирусе Ринда приводятся разные практические задачи с решениями. Там написано «наставление, как вычислить круглый хлебный амбар», имеющий форму цилиндра с диаметром основания 9 локтей (локоть — старинная мера длины, немногим менее 0,5 м). В указанной ниже задаче сформулировано следующее правило для определения площади круга. Эта площадь S равна площади квадрата, сторона которого равна диаметру круга d, уменьшенному на 1/9 своей длины, то есть $S=({\frac {8}{9}}d)^{2}$ и значит, π = 3,1604… Алгоритм создания данной формулы неизвестен.

От 9 отними 1/9, т. е. 1. Получится 8. Умножь 8 на 8. См отри: это 64. Ты правильно нашёлЗадача из папируса Ринда

Осмысление понятия длины окружности через вписанные и описанные многоугольники подвело к попыткам более точного вычисления значения числа π. Решённая Архимедом задача состояла в том, что ему удалось найти хорошее приближение для числа $\pi \approx {\frac {22}{7}}$, а также определить точность этого приближения, то есть указать узкий промежуток числовой оси, которому принадлежит отношение длины окружности к её диаметру. В работе «Измерение круга», чудом дошедшей до нас благодаря стараниям многочисленных переписчиков, Архимед доказывает цепочку неравенств, которая в современных обозначениях выглядит так:

$3{\frac {10}{71}}<{\frac {6336}{2017{\frac {1}{4}}}}<{\frac {14688}{4673{\frac {1}{2}}}}<3{\frac {1}{7}}$ или 3,1409096… < π < 3,1428265… .

Дробь 22/7 называют «архимедовым числом», оно приближает число π с избытком. Точность такого приближения равна 0,002. Архимед нашёл три точных знака числа Пи: π = 3,14… Именно эти три знака используются в несложных расчётах. Метод вычисления длины окружности с помощью вписанных и описанных многоугольников, созданный древнегреческими математиками оставался основным на протяжении почти двух тысяч лет.

Клавдий Птолемей (около 100—178 год) для вписанного правильного 720-угольника получил $\pi \thickapprox {\frac {377}{120}}\thickapprox 3,14167$ .

Китайский математик Лю Хуэй (III—IV века) для вписанного 3072-угольника находит $\pi \thickapprox 3,14159$.

Гияс ад-Дин Джамшид аль-Каши (XIV—XV века) самаркандский математик в «Трактате об окружности» (1424 год) сформулировал следующую задачу: «нужно выразить окружность через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, диаметр которой равен 600000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса» (примерно 0,5 мм). Он вычислил число Пи с точностью до 16 верных десятичных знаков: $\pi \thickapprox 3,14159265358979325$. Точность измерений окружности, полученная ал-Каши была достигнута и превзойдена европейскими математиками лишь в конце XVI в. В 1597 году голландский математик Адриан ван Роомен (1561—1615 года) опубликовал свои многолетние вычисления 17 десятичных знаков числа π. Для этого он применил 1073741824-угольник. Профессор математических и военных наук Лейденского университета Лудольф ван Цейлен (1539—1610) в течение десяти лет вычислил 20 точных десятичных знаков числа π. Он использовал метод Архимеда, удваивая число сторон вписанных и описанных многоугольников, дошёл до 32512254720-угольника. Изложением своих результатов в 1596 году профессор завершил фразой:

У кого есть охота, пусть пойдёт дальшеЛудольф ван Цейлен

Лудольф ван Цейлен продолжил работу и определил 35 знаков числа π. Их он завещал выбить на своём надгробном камне, который не сохранился. Число Пи долгое время называли числом Лудольфа в память о самобытном математике . В работах голландских математиков Виллеброрда Снеллиуса (1580—1626) и Христиана Гюйгенса (1629—1695) в полной мере разработан метод вписанных и описанных многоугольников. В конце 17 века быстрое развитие получает математический анализ, и его основные категории: бесконечные последовательности, ряды, дифференциальное и интегральное исчисление, предел. Новые методы исследований стали применяться для определения знаков числа Пи. Одним из первых результатов в этом направлении стал ряд:

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа $\pi$
Десятичная	3,1415926535897932384626433832795…
Двоичная	11,00100100001111110110…
Шестнадцатеричная	3,243F6A8885A308D31319…
Шестидесятеричная	3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
Рациональные приближения	22⁄7, 179⁄57, 223⁄71, 333⁄106, 355⁄113, 103 993⁄33 102 (перечислено в порядке увеличения точности)
Тригонометрия	$\pi$ радиан = 180°

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+...$(1)

Этот ряд назван в честь открывшего его в 1673 году немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716). В формуле (1) справа стоит многоточие, которое означает, что чем больше слагаемых будет добавлено в правую часть равенства, тем быстрее эта сумма будет будет стремиться к числу ${\frac {\pi }{4}}$. Это позволяет вычислять π с большой точностью. Ряд Лейбница — частный случай общего ряда (2) при х=1, который обнародовал английский математик Джеймс Грегори (1638—1675) в 1670 году:

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+{\frac {x^{9}}{9}}-{\frac {x^{11}}{11}}...$(2), где $|x|\leq 1$ (2)

Джеймс Грегори не заметил причастность своего ряда к числу Пи. Если в формуле (2) положить $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$, то получится следующий ряд:

${\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}(1-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{45}}-{\frac {1}{189}}+{\frac {1}{729}}-{\frac {1}{2673}}...)$ (3)

В работе, написанной Авраамом Шарпом (1651—1742) в 1699 году, была использована формула (3) для вычисления знаков числа π. Шарп вывел 71 знак с использованием этой формулы. Позднее, другие математики, такие как Джон Мэчин, нашли упрощенный способ использования этой формулы путем подбора комбинаций арктангенсов. Полученный ряд сходился быстрее, чем ряд Лейбница (1). Благодаря этому разложению, Мэчин смог вычислить 100 десятичных знаков числа π, которые были опубликованы им в 1706 году. Обнаружение новых способов вычисления числа π вызвало интерес в математическом сообществе, и другие математики начали присоединяться к исследованию этой проблемы. Например, де Ланьи использовал метод Шарпа и вычислил 127 точных десятичных знаков числа π в 1719 году. Однако Леонард Эйлер проверил результат Ланьи и обнаружил ошибку в 113-м знаке. Затем Вега в 1794 году указал значение числа π с точностью до 140 десятичных знаков, из которых 136 оказались верными.

Позже, Уильям Резерфорд в 1841 году сообщил о значении числа π с 208 десятичными знаками. Этот результат был проверен Иоганном Мартином Захарией Дазе(1824—1861), гамбургским вычислителем, который проявил свой талант в этой области. Он показал, что Резерфорд ошибся в 153-м знаке. В 1844 году Дазе довёл точность до 205 знаков, из которых 200 были вычислены верно. В 1847 году Томас Клаузен продвинулся до 250 знаков, из которых 248 были точны. В 1853 году Резерфорд повысил свой результат до 440 десятичных знаков. Наибольшее число знаков — 530 вычислил Уильям Шенкс (среди которых первые 527 верных). Далее Шенкс довёл их количество до 707. До середины XX века вычисления Уильяма Шенкса оставались неизменными. Эти 707 цифр были выбиты в гипсе под потолком «цифирной палаты» в Доме занимательной науки на Фонтанке (Санкт-Петербург), организованном по инициативе Якова Исидоровича Перельмана в 1934 году и закрытый в 1941 году. Этими же 707 цифрами Уильям Голени в 1937 году украсил купол циклической галереи парижского Дворца Открытий. Уже первые проверки на появившихся в 1945 году электронно-вычислительных машинах показали, что Уильям Шенкс в своих расчётах ошибся, начиная с 528 знака.

Вычисление точного значения π во все века неизменно оказывалось тем блуждающим огоньком, который увлек за собой сотни, если не тысячи, несчастных математиков, затративших бесценные годы в тщетной надежде решить задачу, не поддававшуюся усилиям предшественников, и тем снискать себе бессмертие.Л.Кэрролл

В июне 1949 года Джон фон Нейман (1903—1957) и штат его работников вычислили 2037 знаков с помощью ENIAC — одной из первых вычислительных машин. 10000 знаков были рассчитаны в 1958 году Ф.Женюи на компьютере IBM 704. 100 000 знаков числа π вычислены Дэниэлом Шенксом и Джоном Ренчем в 1961 году на IBM 7090. В 1973 году Ж.Гийу и М.Буйе определили 1 000 000 знаков в течение дня на компьютере CDC-7600. В настоящее время сверхбыстрые алгоритмы для подсчета знаков числа Пи после запятой совершенствуются. Вычислительный «марафон», начатый Архимедом сегодня так же далёк от завершения, как и две тысячи лет назад.

Место Пи во множестве чисел

Число Пи — иррациональное число. Это значит, что его десятичное представление является бесконечным и не периодическим. Число Пи не может быть представлено как конечная последовательность алгебраических операций над целыми числами (возведение в степень, извлечение корня, суммирование и так далее).

Число Пи — трансцендентное число. Это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. В 1882 году Ф. Линдеман доказал это утверждение, что стало крупным достижением математики XIX века. В память об открытии свойства трансцендентности числа Пи бюст Фердинанда Линдемана установлен в зале Мюнхенского университете. Под его именем начертан круг, пересеченный квадратом равной площади, внутри которого изображена буква π.

Число Пи и окружающий мир

Вход в здание математического факультета, Берлин

В других научных дисциплинах, помимо математики, число Пи играет значительную роль. В физике оно находит применение при вычислении объемов и площадей цилиндрических объектов, таких как трубы, цистерны и резервуары. Число Пи применяется для расчета плотности потока излучения от точечного источника или цилиндрического проводника, для оценки квантовых состояний атома, определения параметров гармонических колебаний. В архитектуре при расчетах круглых форм неизменно используется знаменитое число. Число Пи с древних времен настолько интересно для математиков и философов, что ему ставят памятники, выкладывают его обозначение плиткой, увековечивают на потолках и стенах.

Число Пи вызывает интерес у писателей. Так, «Пи-Человек» — название рассказа американского фантаста Альфреда Бестера. Главный герой этого рассказа вел себя странно по отношению к числам.

...к полудню выигрываю 57075,94. 57075 — изумительное число, но 94 цента… фу! Уродуют весь баланс. Симметрия превыше всего. У меня в кармане только 24 цента. Позвал секретаршу, одолжил еще 70 и выбросил всю сумму из окна. Мне сразу стало лучше, но тут я поймал ее взгляд, удивленный и восхищенный. Очень плохо. Очень опасно...Человек-Пи

В широком смысле Пи-человеком можно назвать любого математика, считает А. В. Жуков. В книге «Прелюдия к математике» У.Сойера, среди качеств, которыми должен обладать математик, на первое место автор ставит дерзость ума, неординарность мысли и раскрепощенность фантазии.

Для запоминания формул или фактов часто используют мнемотехнические приёмы — система способов, облегчающих запоминание. В математическом фольклоре существуют рифмы-помощники. Для запоминания цифр числа Пи можно использовать четверостишие С. П. Боброва:

Константа Пи

Надо только постараться

И запомнить все, как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Интересные факты о числе Пи

• Любую комбинацию цифр можно найти в Пи.
• 14 марта математики отмечают день числа Пи.
• В десятичной части числа π нет повторений.

Ссылки

• Число Пи | 100000 знаков после запятой