Десятичная система счисления

Системы счисления
Позиционные
Двоичная система счисления Троичная система счисления Восьмеричная система счисления Десятичная система счисления Двенадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления Шестидесятеричная система счисления Нега-позиционная система счисления
Непозиционные
Унарная система счисления Римская система счисления
Смешанные
Фибоначчиева система счисления

Десяти́чная систе́ма счисле́ния — способ записи чисел и осуществления операций над ними, представляющий собой позиционную систему счисления по целочисленному основанию 10, в которой используются символы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Исторически основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека.

История

Исторически сложившееся изображение десятичных цифр в разных странах

На сегодняшний день десятичная система счисления самая распространённая. В цифровой технике используется двоичная система счисления, которая в силу простоты и надёжности реализации символов в электронном виде удобна для хранения и обработки информации, однако её применение вне цифровых устройств применения не нашло.

Завезли десятичную нумерацию в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Полноценная десятичная система представления чисел сложилась в Индии в первом тысячелетии нашей эры.

Решающую роль в распространении десятичной индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль-Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли её «арабской». Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (от араб. صفر‎ (ṣifr)), означающее буквально «пустое место». Это слово применялось для названия знака пустого разряда и сохраняло этот смысл до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин «нуль» (лат. nullum — ничто).

Форма индийских (арабских) цифр претерпевала многообразные изменения. То привычное начертание, которым мы сейчас пользуемся, установилось в Европе в XVI веке.

Определение

Как и во всякой позиционной системе, значение (вес) цифры зависит от занимаемого ею места (позиции или разряда) и в случае десятичной системы счисления число в целом есть сумма произведений чисел, представленных цифрой из ряда ($0...9$), умноженной на соответствующую номеру разряда степень основания.

Исходя из этого целое число $N$ разрядностью $n$ в десятичной системе счисления в общем виде может быть выражено следующим образом:

$N$ $=a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}+...+a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0}$

или

$N=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}10^{k}$, где $\ a_{k}$ — это целые числа из ряда ($0...9$), а $10^{k}$ степень основания в соответствующем разряде.

Принято, чтобы в представлении многоразрядного числа цифра старшего разряда $a_{n-1}$ была ненулевой, то есть нули «слева» после последнего значащего разряда не отображаются.

Например, число «сто три» представляется в десятичной системе счисления в следующем виде:

$103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.$

С помощью $n$ позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от $0$ до $10^{n}-1$, то есть, всего $10^{n}$ различных чисел.

Дробные числа записываются в виде строки цифр, разделённой на целую и дробную часть. Разделителем служит десятичная запятая, например:

$103,25$ читается как $103$ целых, $25$ сотых.

В общем виде запись конечной десятичной дроби выглядит следующим образом:

$n,m=$($a_{n-1}a_{n-2}...\ a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...\ a_{-(m-1)}a_{-m})=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}10^{k}$,

где $n$ — число разрядов целой части числа, $m$ — число разрядов дробной части числа. Десятичные числа, как целые, так и дробные могут быть положительными и отрицательными.

Алгоритмы арифметических действий

Правила выполнения основных математических операций с десятичными числами можно выразить в виде следующих алгоритмов.

Алгоритм сложения

В общем виде алгоритм сложения двух десятичных чисел сводится к сложению числовых значений цифр в каждом разряде с переносом переполнения в старший разряд. Например:

$7238+341$ = $7\cdot 10^{3}+(2+3)\cdot 10^{2}+(3+4)\cdot 10^{1}+(1+8)\cdot 10^{0}$ = $7579$

На практике сложение десятичных чисел производят поразрядным сложением «в столбик»:

• записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;
• складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше $10$, то её записывают в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков);
• если сумма единиц больше или равна $10$, то её представляют в виде $10+B$, значение $B$ записывают в разряд единиц ответа и прибавляют $1$ к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков;
• повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и так далее;
• процесс заканчивается, когда окажутся сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна $10$, производится перенос избытка в старший разряд.

Приведём процесс сложения в виде типовой записи:

  7238
 + 341
  ————
  7579

Алгоритм вычитания

Вычитание «в столбик»:

• записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствовали разряды, находящиеся друг под другом;
• если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем её из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду;
• если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на единицу, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на $10$, после чего вычитаем из числа $10+B$ число $B$ и записываем разность в разряде единиц искомого числа;
• в следующем разряде повторяем описанный процесс;
• вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Приведём процесс вычитания в виде типовой записи:

 7579
– 341
 ————
 7238

Алгоритм умножения

Умножение «в столбик». Выполним задачу умножения многозначного целого числа $A$ на многозначное целое число $B$:

• записываем первое число (множитель) $A$ и под ним второй множитель $B$;
• умножаем число $A$ на младший разряд числа $B$ и записываем произведение под числом $B$;
• умножаем число $A$ на следующий разряд числа $B$ и записываем произведение со сдвигом на один разряд влево;
• продолжаем поразрядное умножение числа $A$ на соответствующий разряд числа $B$ со сдвигом каждого произведения на один разряд влево;
• полученные произведения складываем с учётом сдвига разрядов.

Приведём процесс умножения в виде типовой записи, где число $A=1234$, число $B=23$:

   1234
  х  23
 ——————
   3702  — результат умножения (1234 х 3)
+ 2468   — результат умножения (1234 х 2) со сдвигом на один разряд влево
———————
  28382  — итоговое произведение

Алгоритм деления

Деление «в столбик» («уголком»). Этот алгоритм проще описать на конкретном примере.
Разделим число 500 на число 4

  500│4  
 –4  │125
  10
 – 8
   20
  –20
    0

Опишем последовательность действий:

• делим на 4 старший разряд делимого, результатом является число 1, которое помещаем в старший разряд частного;
• к полученному от деления остатку сносим второй разряд делимого, полученное число 10 делим на 4, результатом целочисленного деления является число 2, оно является вторым после старшего разрядом частного;
• к остатку от деления сносим третий разряд делимого, полученное число 20 делим на 4, результатом деления является число 5, которое и будет записано в частное в качестве последнего, младшего разряда частного;
• последнее деление было выполнено без остатка, поэтому алгоритм считается выполненным.

Использование приближённых десятичных чисел

Десятичные цифры не позволяют получить точное представление для всех действительных чисел. В процессе измерения каких-либо величин не всегда удаётся получить точное целочисленное значение, значения бесконечных дробей типа числа $\pi$ также используют с определённым, заранее заданным приближением.

В большинстве случаев такая точность вполне приемлема, поэтому десятичные дроби с округлением до определённого знака после запятой широко используются в науке, инженерии и повседневной жизни.

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — С. 57—59. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.