Золотое сечение

Иллюстрация к определению золотого сечения.

Золотое сечение (золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны.

История

Само золотое сечение встречается в «Началах» Евклида, где оно применяется для построения правильного многоугольника.

Точно неизвестно, кто именно ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят его к XVI веку, самое раннее употребление встречается у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt).

Некоторые математические свойства золотого сечения

• Φ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения х²-х-1=0;
• Мера иррациональности Ф = 2;
• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны ф . Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно Ф;
• Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE = DE = 1/2, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора BE=CE√5/2. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона АD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как АН = АЕ + ЕН, то отрезок АН длины и будет результатом. Кроме того, поскольку DH = EH — ED, отрезок DH будет иметь длину φ.

Золотое сечение в физике, химии и геометрии

Колебательная система с золотым соотношением частот и колебаний.

Общее сопротивление этой цепи равно Фr.

Золотое число возникает в разных задачах. Например, у бесконечной электрической цепи на приведенной иллюстрации будет иметь общее сопротивление, равное φ*r.

Существуют также колебательные системы, в которых физические характеристики пропорциональны золотому числу.

Золотое сечение активно используется в геометрии (симметрия пятого порядка). Наиболее известные представители — додэкаедр и икосаэдр.

Молекула воды, у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.7⁰, то есть близок к 108 градусам (угол в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды.

Золотое сечение в искусстве и природе

Мозаика Пенроуза.

Использование золотого сечения было замечено:

• в пропорциях пирамиды Хеопса, храмов и барельефов гробницы Тутанхамона свидетельствуют об использовании египтянами золотого сечения;
• Предположительно, золотое сечение было положено в основу архитектуры Парфенона (по мнению Ле Корбюзье);
• Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения;
  

  Панцири наутилусов и логарифмическая золотая спираль, положенная в их основу.
• Золотое сечение положено в основу мозаики Пенроуза и флага Того;
• Ярким примером золотого сечения в природе служит панцирь наутилусов на иллюстрации слева.