Определённый интеграл

Наука
Математика
Тема	Вычисление определённого интеграла
Предмет изучения	действия с определенными интегралами
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Определённый интеграл функции f(x)  ‒ предел интегральной суммы $S_{a}$ в границах от x = a до x = b при условии, что число разбиений n стремится к бесконечности, а наибольшая из разностей  ‒ к нулю.

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{f(c_{i})\vartriangle x_{i}}$

Свойства определённого интеграла

Определённый интеграл имеет следующие свойства:

1. Определённый интеграл меняет знак при перемене местами пределов интегрирования: $\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=-\textstyle \int \limits _{b}^{a}\displaystyle f(x)dx$
2. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: $\textstyle \int \limits _{a}^{a}\displaystyle f(x)dx=0.$
3. Свойство аддитивности:$\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=\textstyle \int _{a}^{c}\displaystyle f(x)dx+\textstyle \int _{c}^{b}\displaystyle f(x)dx,$ где $c\in (a;b).$
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:$\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle kf(x)dx=k\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx.$

Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона- Лейбница

Исаак Ньютон (1643−1727) − английский физик, астроном, математик, философ. Основоположник современной теоретической механики, создатель математики непрерывных процессов. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646−1716) − немецкий математик, физик, философ, лингвист.

Исследователи в области дифференциального и интегрального исчисления независимо друг от друга осуществили свои фундаментальные работы. Так, Ньютон сосредоточился на использовании данной математики для механических задач: определение скоростей при известных законах движения и обратное — установление законов движения по заданным скоростям.

Лейбниц же ориентировал своё внимание преимущественно на решение геометрических проблем, включая задачи касательных к кривым (определение их через касание) и построение этих самых кривых с использованием известных касательных. Этот подход отражает глубокую связь дифференциального и интегрального исчисления как в механике, так и геометрии.

Возникновению современной концепции предела предшествовали столетия исследований. На пороге XVII-XVIII веков понятие предела оставалось неопределённым. В связи с этим ни Ньютон, ни Лейбниц рассматривали интеграл как предел сумм, что стало возможным лишь после более точного определения этого математического понятия в последующие годы.

Приращение $F(b)-F(a)$ произвольной первообразной $F(x)$ функции $f(x)$ при изменении аргумента $x$ от значения $a$ до значения $b$ назовем определённым интегралом Ньютона — Лейбница и обозначим символом, $\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx.$ Таким образом, у нас получится формула, которую мы назовем формулой Ньютона — Лейбница и которую будем использовать для вычисления определённого интеграла:

$\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=F(b)-F(a).$

Пример 1. Вычислить определённый интеграл: $\int _{1}^{3}x^{2}dx$.

Решение: $\int _{1}^{3}x^{2}dx={\frac {3^{3}}{3}}-{\frac {1^{3}}{3}}=9-{\frac {1}{3}}={\frac {26}{3}}.$

Ответ: $\int _{1}^{3}x^{2}dx={\frac {26}{3}}.$

Если функция $f(x)$ на отрезке $[a;b]$ имеет конечное число точек разрыва первого рода $c_{1},c_{2},...,c_{n},$ то интеграл Ньютона — Лейбница по этому отрезку определяют как сумму интегралов по частичным отрезкам $[a;c_{1}],[c_{1};c_{2}],...,[c_{n};b]$. Для этого на каждом из этих отрезков исходная функция доопределяется в концевых точках односторонними пределами.

Метод замены переменной

Рассмотрим в общем виде метод замены переменных при решении определённого интеграла.

Если определённый интеграл $\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx$ преобразуется при помощи подстановки $x=\varphi (t)$ в другой интеграл с новой переменной интегрирования $t$ , то старые пределы интегрирования $x_{1}=a$ и $x_{2}=b$ необходимо заменить новыми пределами $t_{1}=\alpha$ и $t_{2}=\beta$ , которые определяются из исходной подстановки $a=\varphi (\alpha )$ и $b=\varphi (\beta )$.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, функция $\varphi '(t)$ непрерывна на отрезке $[\alpha ;\beta ]$ и $x_{1}=a$, а $x_{2}=b$ . Тогда имеет место следующее правило замены переменной в определённом интеграле:

${\textstyle \textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=\textstyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }\displaystyle f[\varphi (t)]]*\varphi '(t)dt=\textstyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }\displaystyle q(t)dt.}$

К исходной переменной возвращаться не требуется, так как при решении такой задачи ответ выражается числом.