Определённый интеграл

Наука
Математика
Тема	Вычисление определённого интеграла
Предмет изучения	действия с определенными интегралами
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Определённый интеграл функции f(x)  ‒ предел интегральной суммы $S_{a}$ в границах от x = a до x = b при условии, что число разбиений n стремится к бесконечности, а наибольшая из разностей  ‒ к нулю.

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{f(c_{i})\vartriangle x_{i}}$

Свойства определённого интеграла

Определённый интеграл имеет следующие свойства:

1. Определённый интеграл меняет знак при перемене местами пределов интегрирования: $\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=-\textstyle \int \limits _{b}^{a}\displaystyle f(x)dx$
2. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{a} \displaystyle f(x)dx=0.}
3. Свойство аддитивности:$\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=\textstyle \int _{a}^{c}\displaystyle f(x)dx+\textstyle \int _{c}^{b}\displaystyle f(x)dx,$ где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c\in(a;b) .}
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle k f(x)dx= k\textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx.}

Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона- Лейбница

Исаак Ньютон (1643−1727) − английский физик, астроном, математик, философ. Основоположник современной теоретической механики, создатель математики непрерывных процессов. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646−1716) − немецкий математик, физик, философ, лингвист.

Исследователи в области дифференциального и интегрального исчисления независимо друг от друга осуществили свои фундаментальные работы. Так, Ньютон сосредоточился на использовании данной математики для механических задач: определение скоростей при известных законах движения и обратное — установление законов движения по заданным скоростям.

Лейбниц же ориентировал своё внимание преимущественно на решение геометрических проблем, включая задачи касательных к кривым (определение их через касание) и построение этих самых кривых с использованием известных касательных. Этот подход отражает глубокую связь дифференциального и интегрального исчисления как в механике, так и геометрии.

Возникновению современной концепции предела предшествовали столетия исследований. На пороге XVII-XVIII веков понятие предела оставалось неопределённым. В связи с этим ни Ньютон, ни Лейбниц рассматривали интеграл как предел сумм, что стало возможным лишь после более точного определения этого математического понятия в последующие годы.

Приращение $F(b)-F(a)$ произвольной первообразной $F(x)$ функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} при изменении аргумента Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} от значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} до значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} назовем определённым интегралом Ньютона — Лейбница и обозначим символом, $\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx.$ Таким образом, у нас получится формула, которую мы назовем формулой Ньютона — Лейбница и которую будем использовать для вычисления определённого интеграла:

$\textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=F(b)-F(a).$

Пример 1. Вычислить определённый интеграл: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{1}^{3} x^2dx} .

Решение: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{1}^{3} x^2dx = \frac{ 3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} .}

Ответ: $\int _{1}^{3}x^{2}dx={\frac {26}{3}}.$

Если функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} на отрезке $[a;b]$ имеет конечное число точек разрыва первого рода Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_1, c_2,...,c_n,} то интеграл Ньютона — Лейбница по этому отрезку определяют как сумму интегралов по частичным отрезкам Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a;c_1],[c_1;c_2],...,[c_n;b]} . Для этого на каждом из этих отрезков исходная функция доопределяется в концевых точках односторонними пределами.

Метод замены переменной

Рассмотрим в общем виде метод замены переменных при решении определённого интеграла.

Если определённый интеграл Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx} преобразуется при помощи подстановки $x=\varphi (t)$ в другой интеграл с новой переменной интегрирования $t$ , то старые пределы интегрирования $x_{1}=a$ и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2=b} необходимо заменить новыми пределами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1=\alpha} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_2=\beta} , которые определяются из исходной подстановки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=\varphi(\alpha)} и $b=\varphi (\beta )$.

Пусть функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} непрерывна на отрезке $[a;b]$, функция $\varphi '(t)$ непрерывна на отрезке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [\alpha;\beta]} и $x_{1}=a$, а $x_{2}=b$ . Тогда имеет место следующее правило замены переменной в определённом интеграле:

${\textstyle \textstyle \int \limits _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx=\textstyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }\displaystyle f[\varphi (t)]]*\varphi '(t)dt=\textstyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }\displaystyle q(t)dt.}$

К исходной переменной возвращаться не требуется, так как при решении такой задачи ответ выражается числом.