Эквиваленция

Эквиваленция
Исключающее или-не, eq, xnor
Определение	$x=y$
Таблица истинности	$(1001)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	$x\cdot y+{\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$
Конъюнктивная	$({\overline {x}}+y)\cdot (x+{\overline {y}})$
Полином Жегалкина	$1\oplus x\oplus y$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Нет
Линейна	Да
Самодвойственна	Нет

Эквивале́нция — логическая операция, позволяющая из двух данных высказываний A и B получить новое высказывание «A равносильно B». В формализованных языках эквивалентность высказываний A и B обычно обозначается A ∼ B, A ↔ B, A ≡ B, A ⇔ B. Читается «A равносильно B»; «A, если и только если B»; «A тогда и только тогда, когда B»; «если A, то B, и обратно»; «для того, чтобы A, необходимо и достаточно B»; «A эквивалентно B».

Формула эквивалентности для двух переменных

Высказывание A∼B истинно тогда и только тогда, когда два высказывания A и B имеют одинаковые значения истинности. Обозначение:

                                                            $A\leftrightarrow B$

где A и B — логические переменные, принимающие значения «истина» (1) или «ложь» (0).

При помощи эквивалентности можно строить отрицание высказываний с «или», осуществляя отрицание каждой из его частей и меняя «или» на «и». В логике Эйлера — сложное высказывание «р, если и только если q», образованное из высказываний р и q разлагающееся на две импликации: «Если р, то q» и «Если q, то р». Термином «Эйлера» обозначается и связка «если и только если», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «если и только если» для этой цели могут использоваться «в том и только в том случае, когда», «тогда и только тогда, когда».

Любые два высказывания Р и Q, такие, что истинно Р ↔ Q, называют логически эквивалентными или равносильными.

---

Свойства

Имеют место следующие свойства:

а) a ∼ b ≡ b ∼ a;

б) a ∼ b ≡ ${\bar {a}}$ ∼ ${\bar {b}}$;

в) a ∼ 1 ≡ a;

г) a ∼ 0 ≡ ${\bar {a}}$;

д) a ∼ a ≡ 1.

---

Таблица истинности

Эквиваленция:

A	B	A↔B
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложь	Ложь
Ложь	Истина	Ложь
Ложь	Ложь	Истина

Запись эквиваленции через другие логические операции

Логически эквивалентные высказывания — сложные высказывания, имеющие различное строение, но являющиеся истинными в одних и тех же случаях. Формально эквиваленцию можно выразить как через импликацию и конъюнкцию, так и через дизъюнкцию и отрицание:

                                              $A\leftrightarrow B\equiv (A\bigwedge B)\bigvee ({\bar {A}}\bigwedge {\bar {B}})\equiv (A\longrightarrow B)\bigwedge (B\longrightarrow A)$

Эквивалентность двух высказываний легко установить посредством сравнения их таблиц истинности.

A	B	A→B	B→A	(A→B)∧(B→A)
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

A	B	A∧B	¬A	¬B	¬A∧¬B	(A∧B)∨(¬A∧¬B)
И	И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	Л	И	Л	Л	Л
Л	Л	Л	И	И	И	И

---

Особенности в естественном языке

• Например, высказывание: «Я поеду в Ленинград тогда и только тогда, когда ты поедешь в Москву». Это высказывание означает, что: либо произойдёт и то, и другое; либо ни то, ни другое.
• «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным».