Отрицание

Отрицание
НЕ, NOT
Определение	${\overline {x}}$
Таблица истинности	$(10)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\overline {x}}$
Конъюнктивная	${\overline {x}}$
Полином Жегалкина	$1\oplus x$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Нет
Монотонна	Нет
Линейна	Да
Самодвойственна	Да

Отрица́ние — унарная логическая операция, то есть применяемая к одному высказыванию. Определяется как: «отрицанием или инверсией высказывания A является высказывание НЕ-А, то есть противоположное исходному». Соответствует логическим конструкциям: «Не …», «Не верно, что …».

Формула отрицания для одной переменной

Опровержение или отрицание высказывания A обозначается символами:

                                                                              ~$A$, ${\bar {A}}$, $\neg A$

где A — логическая переменная, принимающая значения «истина» (1) или «ложь» (0).

Формально для высказывания A:

${\bar {A}}={\begin{cases}{\text{Истина, если A ложно, }}\\{\text{Ложь, если A истинно.}}\end{cases}}$

Образование дополнения к классу (отрицание) — логическая операция, состоящая в образовании нового класса, не А (~А), который состоит из элементов универсального класса, не принадлежащих дополняемому классу А. Универсальный класс символически обозначается 1; графически — прямоугольником. Чтобы образовать дополнение, нужно класс А исключить из универсального класса: 1 — А=~А.

---

Свойства

Имеет место свойство ${\bar {\bar {a}}}$ ≡ a. Оно называется законом двойного отрицания.

---

Таблица истинности

Логическое отрицание:

A	¬A
Истина	Ложь
Ложь	Истина

Очерёдность действий

При записывании высказывания с помощью логических операций предполагается, что очередность выполнения всех операций определяется расстановкой скобок. Для упрощения записи скобки зачастую опускаются, принимая при этом определённый порядок выполнения операций («соглашение о приоритетах»).

Операция отрицания всегда выполняется первой, и потому её в скобки не заключают. Второй выполняется операция конъюнкции, затем дизъюнкции и, наконец, импликации и эквивалентности. Например, высказывание (¬P) V Q записывают так: ¬P V Q. Это высказывание есть дизъюнкция двух высказываний: первое является отрицанием Р, а второе — Q. В отличие от него высказывание ¬(P V Q) есть отрицание дизъюнкции высказываний Р и Q.

Закон противоречия

Закон противоречия выражает требование непротиворечивости и последовательности мышления. Это значит, что, признав известные положения в качестве истинных и развивая выводы из этих положений, не допускается в доказательстве никаких утверждений, противоречащих тому, что было приведено ранее. Закон противоречия гласит: два находящихся в отношении отрицания суждения не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них необходимо ложно. Следует иметь в виду, что данный закон действителен лишь в отношении тех суждений, в которых говорится об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении. В случаях, где данное условие не выполняется, закон противоречия неприменим.

Закон противоречия имеет силу как в отношении контрарных (противоположных), так и контрадикторных (противоречащих) высказываний. В математической логике закон противоречия выражается формулой: ¬(p ∧ (¬p)) — неверно, что могут быть одновременно истинными суждения p и его отрицания ¬p.

---

Особенности в естественном языке

• Например, если р есть высказывание «Джейн водит автомобиль», то ~р — это утверждение «Джейн не водит автомобиль».
• Пусть r есть высказывание «Джо нравится информатика», p — высказывание «Джейн водит автомобиль», q — высказывание «У Боба русые волосы». Тогда «Джейн не водит автомобиль и у Боба русые волосы или Джо любит информатику» символически запишется как ((~p) ∧ q) V r. И наоборот, выражение p ∧ (~q) ∧ r — это символическая форма записи высказывания «Джейн водит автомобиль, у Боба волосы не русые и Джо нравится информатика».
• Например, чтобы образовать дополнение к классу «студент», надо подвергнуть этот класс отрицанию. Полученный класс «не-студент» является дополнением к классу «студент». Класс студентов, сложенный с классом «не-студентов», образует универсальный класс учащихся.