Дизъюнкция

Дизъюнкция
ИЛИ, OR
Определение	$x+y$
Таблица истинности	$(0111)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	$x+y$
Конъюнктивная	$x+y$
Полином Жегалкина	$x\oplus y\oplus xy$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Да
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Да
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Дизъю́нкция (лат. disjunctio, разобщение) — логическая операция, объединяющая два или более высказываний с помощью союза «или». Дизъюнкция читается: «A или B»; записывается: A ⋁ B; другое название дизъюнкции: логическое сложение. В формализованных языках она обозначается символом ∨ и соответствует нестрогому выбору: результат истинен, если истинно хотя бы одно из исходных высказываний.

Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и $n$-арной (имеющей $n$ операндов) для произвольного $n$.

Формула дизъюнкции для двух переменных

Высказывания A и B называются дизъюнктивными членами высказывания A ∨ B. Обозначение:

                                                                       A ∨ B

где A и B — логические переменные, принимающие значения «истина» (1) или «ложь» (0).

В рамках логики высказываний (раздел классической математической логики) различают нестрогую и строгую дизъюнкцию. Если A и В — высказывания, а знак v — знак нестрогой дизъюнкции, то высказывание «A U B» называют нестрогой дизъюнкцией (читается: «A или В»). Инклюзивная (нестрогая) дизъюнкция:

• Объединяет высказывания, которые могут быть истинными одновременно, в отличие от строгой дизъюнкции, когда совпадение исключается (альтернатива).

---

Свойства

Имеют место следующие свойства:

а) a ∨ b ≡ b ∨ a — коммутативный закон;

б) a ∨ 1 ≡ 1 — закон «1» для дизъюнкции;

в) a ∨ 0 ≡ a — закон «0» для дизъюнкции;

г) a ∨ a ≡ a — закон идемпотентности.

---

Таблицы истинности

Инклюзивная дизъюнкция:

A	B	A∨B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Связь с теорией множеств

Для любых двух множеств А и В определены новые множества, называемые объединением, пересечением, разностью и симметрической разностью. Дизъюнкция аналогична операции объединения множеств:

                                                                    $A\bigcup B=\{x:x\in A\bigvee x\in B\}$

то есть объединение А и В есть множество всех таких х, что х является элементом хотя бы одного из множеств А, В.

Операции над множествами, введенные выше, соотносятся с логическими операциями следующим образом. Пусть А = {x: P(x)}, В = {x: Q(x)}, то есть множество А задано посредством характеристического предиката Р, а множество B — посредством характеристического предиката Q. Тогда:

                                                                    $A\bigcup B=\{x:P(x)\bigvee Q(x)\}$

---

Применение в различных областях

• Программирование

Логическое «ИЛИ» (or в PythonPython) используется для проверки условий. Ключевое слово оr тоже позволяет проверить несколько условий, но результат общей проверки является истинным в том случае, когда истинно хотя бы одно или оба условия. Ложный результат достигается только в том случае, если оба отдельных условия ложны. Пример, в котором хотя бы одна из двух переменных больше 21:

>>> age_0 = 22

>>> age_1 = 18

>>> age_0 >= 21 or age_1 >= 2

 True

>>> age_0 = 18

>>> age_0 >= 21 or age_1 >= 21

False

• Философия и право

Дизъюнкция помогает формулировать юридические условия (например, «и/или» в договорах).

• Схемотехника

Логический элемент 2ИЛИ

Мнемоническое правило для логического элемента ИЛИ (дизъюнкция) с любым количеством входов звучит так:
на выходе будет:

• «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
• «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

На иллюстрации приведен пример логического элемента 2ИЛИ. Утверждение «Y = А ИЛИ В» считается истинным, когда истинно или утверждение «A», или утверждение «B», или оба вместе.

---

Особенности в естественном языке

• В разговорной речи «или» часто вызывает двусмысленность. Например, фраза Граучо Маркса: «Или у меня часы стоят, или этот человек умер» — кажется эксклюзивной дизъюнкцией, однако ей не являются. Оба условия могут быть истинными.

• «Джейн водит автомобиль или у Боба рыжие волосы». Высказывание, которое символически выражается как р V q. Если некто скажет: «Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы», то он будет не прав только тогда, когда Джейн не сможет управлять автомобилем, а Боб не будет русоволосым. Для того, чтобы всё высказывание было истинным, достаточно, чтобы одна из двух составляющих его компонент была истинной. Поэтому р V q имеет таблицу истинности.
• Если р — высказывание «Джон богат», а q — высказывание «Джон красив», и не знакомая с Джоном девушка уверена в истинности высказывания «Джон богат или Джон красив», или «Джон богат или красив», то она вправе ожидать, что истинно одно из высказываний, но не обязательно оба. Девушка почувствует себя введенной в заблуждение, только если обнаружит, что Джон беден и уродлив.