Импликация

Импликация
Не больше, IMPLY
Определение	$x\rightarrow y$
Таблица истинности	$(1101)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\overline {x}}+y$
Конъюнктивная	${\overline {x}}+y$
Полином Жегалкина	$1\oplus x\oplus xy$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Имплика́ция — логическая операция, соответствующая образованию высказывания «если A, то B» из высказываний A и B. В формализованных языках импликация чаще всего обозначается символами ⊃, →, ⟹. Высказывания, образующие импликацию A → B, имеют специальные названия: a — посылка (гипотеза, антецедент), b — заключение (вывод, консеквент). В импликативном высказывании антецедент — высказывание, идущее после слова «если», и консеквент — высказывание, идущее за словом «то».

Формула импликации для двух переменных

Высказывание A → B ложна тогда и только тогда, когда A — истина, а B — ложь. Обозначение:

                                                            $A\longrightarrow B$

где A и B — логические переменные, принимающие значения «истина» (1) или «ложь» (0).

Условные высказывания могут выражаться в виде различных языковых конструкций, но символически все они записываются как р → q. Вот несколько примеров таких конструкций:

«Если р, то q», «р достаточно для q», «р является достаточным условием для q», «q необходимо для р», «q является необходимым условием для р», «р, только если q (или: только если q, то р)».

Свойства

Имеют место следующие свойства:

а) a → b $\not \equiv$b → a;

б) a → a ≡ 1;

в) 0 → a ≡ 1;

г) 1 → a ≡ a;

д) a → 1 ≡ 1;

е) a → 0 ≡ ${\tilde {a}}$.

---

Таблица истинности

Импликация:

A	B	A→B
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложь	Ложь
Ложь	Истина	Истина
Ложь	Ложь	Истина

Таблица для р → q показывает, что если р → q истинно и р истинно, тогда q должно быть истинным, то есть истинность p достаточна для истинности q. Поэтому р достаточно для q имеет тот же смысл, что и р → q. Таким образом, если q ложно и q необходимо для р, тогда р должно быть ложно. Поэтому, если ~q истинно, тогда ~p должно быть истинно и ~q → ~p (~). Но последнее выражение — контрапозиция для р → q; следовательно, q необходимо для р имеет то же значение, что и р → q. Здесь контрапозиция (противопоставление предикату) – непосредственное умозаключение, в результате которого в заключении субъектом становится понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а предикатом – субъект исходного суждения.

Анализ значения р только если q проводится аналогично. Получается, что р может быть истинным, только если q истинно. Если q не истинно, то р не может быть истинным. Но это эквивалентно утверждению, что если ~q истинно, то ~p должно быть истинно и ~q→ ~p. Здесь символ ~ обозначает отрицание. Последнее есть контрапозиция высказывания p → q, поэтому р только если q имеет то же значение, что и р → q. Порядок простых высказываний в составе условного высказывания не имеет значения; важно то, какое из простых высказываний следует за если (или в данном случае только если), а какое следует за то.

Виды импликаций

Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в научных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путем ссылки на нечто другое. В современной логике имеется большое число импликаций, различающихся своими формальными свойствами. Наиболее известны из них импликации:

• материальная;
• строгая;
• релевантная (уместная).

Материальная импликация обозначается знаком ⊃. Это одна из основных связок логики классической. Определяется она через функции истинности: импликация ложна только в случае истинности антецедента и ложности консеквента и истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «Если А, то В» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чём говорится в А и В: выражение А ⊃ В такой связи не предполагает.

Строгая импликация определяется через модальное понятие (логической) невозможности: «А строго имплицирует В» означает «Невозможно, чтобы А было истинно, а В ложно».

В релевантной логике импликация понимается как условный союз в его обычном смысле. В релевантной импликации нельзя сказать, что истинное высказывание может быть обосновано путем ссылки на любое высказывание и что с помощью ложного высказывания можно обосновать какое угодно высказывание.

---

Особенности в естественном языке

• Например, отец говорит сыну: «Если в этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично», я куплю тебе машину». Высказывание имеет вид: если р, то q, где р — высказывание «В этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично»», а q — высказывание «Я куплю тебе машину». Сложное высказывание обозначаются символически через р → q. Предполагается, что высказывания р и q истинны. В этом случае студент получает отличные оценки по всем предметам, и отец покупает ему машину. Естественно, что высказывание отца было истинным. Однако существуют ещё три других случая. 1) Студент действительно добился отличных результатов, а отец не купил ему машину. В таком случае отец солгал. Следовательно, если р истинно, а q ложно, то p → q ложно. 2) Студент не получил положительные оценки, но отец тем не менее купил ему машину. В этом случае отец предстает щедрым, но он не лжец. Следовательно, если р ложно и q истинно, то высказывание «если р, то q» (то есть р → q) истинно. 3) Студент не добился отличных результатов, и отец не купил ему машину. Поскольку студент не выполнил свою часть соглашения, отец тоже свободен от обязательств. Таким образом, если р и q ложны, то р → q считается истинным. Итак, единственный случай, когда отец солгал, — это когда он дал обещание и не выполнил его.
• «Если целое число равно 3, то его квадрат равен 9». Пусть р — высказывание «Целое число равно 3», a q — высказывание «Квадрат целого числа равен 9». Если р и q истинны, то целое число равно 3 и его квадрат равен 9. Это соответствует первой строке таблицы истинности. Если целое число равно — 3, то его квадрат по-прежнему равен 9. В этом случае р ложно и q истинно, что совпадает со случаем 3 и подтверждает правильность третьей строки таблицы. Если целое число равно 4, то ложны и р, и q, что соответствует случаю 4. Этим подтверждается правильность четвёртой строки таблицы.
• Например, р — высказывание «Джейн управляет автомобилем», а q — утверждение «У Боба русые волосы». Тогда высказывание «Если Джейн управляет автомобилем, то у Боба русые волосы» запишется как «если р, то q» или как «p → q». То, что Джейн управляет автомобилем, никак причинно не связано с тем, что Боб русоволосый. Истинность или ложность бинарного сложного высказывания зависит только от истинности составляющих его частей и не зависит от наличия или отсутствия между ними какой-либо связи.
• Высказывание Q(x) — «Если натуральное число x делится на 4, то оно (натуральное число x) делится на 2». Любое натуральное число x в Q(x) при подстановке в высказывание получается истинное высказывание. Пусть A(x) — «Hатуральное число x делится на 4», B(x) — «Hатуральное число x делится на 2». Тогда Q(x) ≡ A(x) → B(x). При значения x = 8, 2, 3, реализуются строки 1 → 1, 0 → 1, 0 → 0. Не удастся подобрать такое значение x, чтобы реализовалась 1 → 0 (так как справедлива приведенная теорема, то eсть Q(x) ≡ A(x) → B(x) ≡ 1).
• В большинстве алгоритмических языков имеется логический оператор «if P then S», использование которого несколько отличается от определения импликации, а именно если P — истина, то отрезок S программы выполняется, а если P — ложь, то отрезок S программы опускается (не выполняется).
• Утверждения «Только накопив денег, Фрэд сможет поступить в колледж» и «Фрэд сможет поступить в колледж, только если накопит денег» рассматриваются как одно и то же высказывание.