Метод конечных элементов

Решение методом конечных элементов двухмерной магнитостатической задачи (линии и цвет означают направление и величину магнитной индукции)

Метод конечных элементов (МКЭ) — общий численный метод решения дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании. Наиболее частые решаемые задачи находятся в области механики твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики, электродинамики.

Особенности метода

Метод заключается в разбиении исследуемой области на отдельные части, называемые конечными элементами, соединяющихся между собой в определённом числе точек, называемых узлами. Каждый элемент описывается приближённой функцией, значения которой в узлах элемента являются её решением и заранее неизвестны. Вне своего элемента функция равна нулю. Отдельные уравнения собираются в общую систему уравнений, описывающую всю область. Число уравнений равно числу неизвестных значений в узлах и ограничено только вычислительными возможностями ЭВМ. Так как элемент связан с небольшим количеством соседних элементов, матрица уравнений имеет разряженный вид, что значительно упрощает решение.

МКЭ опирается на классические законы строительной механики и как следствие представлен в трёх формах: метода перемещения, метода сил и смешанного метода. Наиболее общим является МКЭ в форме смешанного метода. Однако МКЭ в форме метода перемещений является более распространённым.

История

Разбиение на конечные элементы. Размер элементов можно менять, уменьшая его вблизи интересующей области, и увеличивая — для снижения затрат процессорного времени

МКЭ появляется из идеи применить к решению двумерных и трёхмерных задач теории упругости хорошо проработанные алгоритмы расчёта статически и кинематически неопределимых стержневых систем. Впервые в 1941 году А. П. Хренников обосновал расчёт сплошного пространства как системы ферменных каркасов. Спустя два года Р. Курант опубликовал свою работу на эту тему, в которой описал кручение стержня как системы многосвязных областей. В 1944 году И. Агририс с помощью компьютера применил МКЭ в авиастроении.

Приближённое описание некоторой упругой среды при помощи соединённых в узлах дискретных элементов, условно вырезанных из этой среды, названное в дальнейшем МКЭ, было предложено Р. Клафом, который впервые использовал и ввёл термин «конечный элемент». Окончательно оформил метод О. Зенкевич, соединив и формализовав изыскания предыдущих учёных в своём фундаментальном труде.