Топология

Наука
Топология (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение)
англ. Topology
Предмет изучения	непрерывность
Период зарождения	XIX век
Основные направления	математика, геометрия

Топология (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности, выражающегося в понятии предела.

Основные этапы развития топологии

Конструкция индуцированной топологии с плоскости на квадрат (чёрный) подразумевает, что открытыми подмножествами квадрата объявляются его пересечения с открытыми подмножествами плоскости

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в XVIII—XIX веках, в том числе теорема Леонарда Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части. В начале XX века создаётся общее понятие пространства в Топологии: метрическое — Морис Фреше, топологическое — Феликс Хаусдорф, возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях Анри Лебега и Лёйтзена Брауэра, вводятся полиэдры Анри Пуанкаре и определяются их так называемые числа Бетти.

Первая четверть XX века завершается расцветом общей Топологии и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности Павла Урысона; аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид под руководством Павла Александрова; строится теория компактных пространств и доказывается теорема об их произведении Андреем Тихоновым; впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства; вводится понятие локально конечного покрытия, на основе которого в 1944 году Жан Дьёдонне определил паракомпактные пространства; вводятся вполне регулярные пространства; определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий. Под влиянием Эмми Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Лев Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.

Во второй четверти XX века продолжается развитие общей Топологии и теории гомологий: в развитие идей Тихонова Аллан Стоун и Эдуард Чех вводят так называемое стоун — чеховское расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств, в группы когомологий вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Топология иногда и до сих пор называется комбинаторной Топологией. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий; определяются гомотопические группы и для их вычисления применяются соображения гладкой Топологии. Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий. Возникает теория расслоений; вводятся клеточные пространства Джона Уайтхеда.

Во второй половине XX века в Советском Союзе складывается советская школа общей Топологии и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов Александра Архангельского и Бориса Пасынкова. Усилиями ряда учёных окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической топологии в США и Великобритании; возобновляется интерес к геометрической Топологии. Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора, алгебраическая топология получает широкие применения в гладкой Топологией и алгебраической геометрии; развивается теория кобордизмов и теория сглаживания и триангулируемости

Разделы топологии

Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Топологии на ряд отделов отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных:

• Общая топология — раздел в котором изучаются понятия непрерывности и предела в наиболее общем смысле. Общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами, прежде всего алгебраическими. Традиционный подход к общей топологии это теория множеств. Множество называется топологическим пространством, когда задано определённое семейство его открытых подмножеств, удовлетворяющее аксиомам. Возможно много способов задания структуры топологического пространства на одном множестве: от дискретной до нехаусдорфовой антидискретной (тривиальной) топологии, склеивающей все точки вместе. Базовые понятия теории множеств, такие как множество, функция, ординальные числа, кардинальные числа, аксиома выбора, лемма Цорна, не являются предметом общей топологии, но активно ею используются. Общая топология включает следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображениями, классификация топологических пространств. Самостоятельное направление общей топологии — теория размерности. Глоссарий общей топологии включает такие понятия как окрестности, замыкания множеств (а также внутренности), компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров. Понятие предела функции, вводимое в общей топологии, допускает дальнейшее обобщение в рамках теории псевдотопологических пространств.
• Равномерная топология — раздел изучающий аксиоматическое понятие равномерной непрерывности. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.
• Маломерная топология — направление изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии. (Изучение одномерных топологических пространств также иногда относится к маломерной топологии, хотя чаще рассматривается как часть теории континуума)
• Вычислительная топология — дисциплина, находящаяся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Её основными задачами являются создание эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применение топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.
• Алгебраическая топология — раздел изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций. Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что общеалгебраические структуры устроены проще, чем топологические.
• Дифференциальная топология — раздел изучающий топологические проблемы теории дифференцируемых многообразий и дифференцируемых отображений. Дифференциальная топология применяется в различных областях физики, что связано с увеличением роли калибровочных полей в теории элементарных частиц, а так же со сложной топологией решений в теории жидких кристаллов и теории фазовых переходов, в частности в жидком гелии.

Литература

• Топология / Большая Российская энциклопедия // научно-редакционный совет: председатель - Ю. С. Осипов и др. — Москва : Большая Российская энциклопедия, Т. 32: Телевизионная башня - Улан-Батор. — 2016. — 765 с. — ISBN 978-5-85270-369-9
• Топология / Большая советская энциклопедия // Глав. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — Москва : Сов. энциклопедия, Т. 26: Тихоходки-Ульяново. — 1977. — 622 с.