Быстрая сортировка

Наглядная демонстрация алгоритма.

Бы́страя сортиро́вка (англ. Quicksort) — это эффективный алгоритм сортировки, основанный на принципе «Разделяй и властвуй». Один из самых быстрых известных универсальных алгоритмов сортировки массивов: в среднем $O(n\log n)$ обменов при упорядочении $n$ элементов; из-за наличия ряда недостатков на практике обычно используется с некоторыми доработками.

История алгоритма

Быстрая сортировка была разработана британским учёным Чарльзом Энтони Ричардом Хоаром в 1960 году. Хоар работал над проблемой сортировки данных на магнитных лентах для компании Elliott Brothers, производителя компьютеров в Великобритании. Его задачей было создать эффективный алгоритм, который мог бы обрабатывать большие объёмы данных за минимальное время.

Изначально алгоритм был разработан как часть проекта по оптимизации работы компьютеров того времени, которые имели ограниченные ресурсы памяти и вычислительной мощности. Хоар стремился создать алгоритм, который был бы не только быстрым, но и экономным в использовании памяти. Это привело к разработке принципа «разделяй и властвуй», который лег в основу быстрой сортировки.

Первая публикация о быстрой сортировке появилась в журнале Communications of the ACM в 1961 году. Алгоритм сразу же привлек внимание научного сообщества благодаря своей простоте и эффективности. В отличие от других алгоритмов того времени, таких как сортировка пузырьком или сортировка вставками, быстрая сортировка предлагала значительно более высокую производительность, особенно для больших массивов данных.

В последующие годы алгоритм был усовершенствован и адаптирован для различных типов данных и архитектур компьютеров. Например, в 1962 году Хоар представил улучшенную версию алгоритма, которая минимизировала количество операций сравнения и перестановок. Эти улучшения сделали быструю сортировку ещё более привлекательной для практического применения.

Принцип работы

Быстрая сортировка работает по следующему принципу:

1. Выбирается элемент массива, называемый опорным.
2. Массив разделяется на две части: элементы, меньшие опорного, и элементы, большие опорного.
3. Рекурсивно применяется тот же процесс к каждой из частей.

Этот подход позволяет эффективно сортировать массив за время $O(n\log n)$ в среднем случае.

Выбор опорного элемента

Опорный элемент может быть выбран различными способами. Наиболее распространенные методы включают выбор первого элемента, последнего элемента, случайного элемента или медианы. Выбор опорного элемента влияет на производительность алгоритма, особенно в худшем случае.

Разделение массива

После выбора опорного элемента массив разделяется на две части. Этот процесс называется разбиением. Один из популярных методов разбиения был предложен Никлаусом Виртом . В этом методе используется два указателя, которые перемещаются навстречу друг другу, пока не найдут элементы, нарушающие порядок относительно опорного элемента.

Реализация

Пример реализации быстрой сортировки на языке Python:

def quicksort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[len(arr) // 2]
    left = [x for x in arr if x < pivot]
    middle = [x for x in arr if x == pivot]
    right = [x for x in arr if x > pivot]
    return quicksort(left) + middle + quicksort(right)

Эта реализация демонстрирует рекурсивный подход к сортировке массива. Она использует списковые включения для разделения массива на три части.

Анализ времени выполнения

Средний случай

В среднем случае быстрая сортировка выполняется за время $O(n\log n)$ . Это достигается благодаря тому, что массив делится на две примерно равные части на каждом шаге.

Худший случай

Худший случай возникает, когда опорный элемент оказывается наименьшим или наибольшим элементом массива. В этом случае время выполнения составляет $O(n^{2})$ . Однако вероятность такого исхода мала, если опорный элемент выбирается случайным образом.

Лучший случай

Лучший случай достигается, когда массив делится на две равные части на каждом шаге. Время выполнения в этом случае также составляет $O(n\log n)$.

Преимущества

1. Высокая производительность: Быстрая сортировка часто превосходит другие алгоритмы сортировки, такие как сортировка слиянием или пирамидальная сортировка, в реальных задачах.
2. Простота реализации: Алгоритм легко реализовать даже для начинающих программистов .
3. Эффективное использование памяти: Быстрая сортировка является алгоритмом на месте (англ. in-place), что означает, что она требует минимального дополнительного пространства.

Недостатки

1. Неустойчивость: Быстрая сортировка не является устойчивой, то есть она может изменять относительный порядок равных элементов.
2. Худший случай: Время выполнения может достигать $O(n^{2})$, если выбор опорного элемента неудачен.
3. Рекурсия: Глубокая рекурсия может привести к переполнению стека вызовов.

Практическое применение

Быстрая сортировка широко используется в стандартных библиотеках многих языков программирования. Например, в языке C функция `qsort` реализует быструю сортировку. В Java метод `Arrays.sort()` использует модифицированную версию быстрой сортировки для примитивных типов данных.

Альтернативы

Существуют альтернативные алгоритмы сортировки, которые могут быть более подходящими в определенных случаях. Например, сортировка слиянием гарантирует время выполнения $O(n\log n)$ в худшем случае, а пирамидальная сортировка не требует дополнительной памяти.

Заключение

Быстрая сортировка остается одним из самых популярных алгоритмов сортировки благодаря своей эффективности и простоте реализации. Несмотря на некоторые недостатки, такие как [[неустойчивость] и возможный худший случай, её преимущества делают её незаменимой в большинстве приложений.