Таблица производных

Вычисле́ние произво́дной — это важная операция в дифференциальном исчислении, являющаяся основой для многих приложений в математике и науке. Производная функции показывает, как эта функция изменяется в каждой точке своей области определения. Производная позволяет определить скорость изменения величины и используется для анализа функций, нахождения точек экстремума и решения различных прикладных задач^[1].

Производные простых функций

Производная константы всегда равна нулю, так как константа не изменяется. Для функции вида xnx^nxn, где nnn — это любое число, производная выражает, как степень функции влияет на её изменение^[2].

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}cx=c$

Шаблон:Вывод

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1},$ когда $x^{c}$ и $cx^{c-1}$ определены, $c\neq 0$

Шаблон:Вывод

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

Шаблон:Вывод

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

${d \over dx}{\sqrt[{n}]{x}}={d \over dx}x^{1 \over n}={1 \over n}x^{1-n \over n}={\frac {1}{n\cdot {\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

Производная экспоненциальной функции показывает, как быстро растёт или уменьшается функция, основанная на экспоненте. Например, экспоненциальная функция exe^xex имеет уникальное свойство — её производная совпадает с самой функцией. Логарифмическая функция, напротив, демонстрирует, как величина логарифма изменяется относительно изменения аргумента функции^[3].

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

Шаблон:Вывод

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

${d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$

${d \over dx}\ln x={1 \over x}$
${d \over dx}\log _{a}x={\frac {\log _{a}e}{x}}={\frac {1}{x\ln a}}$

Шаблон:Вывод

${\frac {d}{dx}}\log _{a}f(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln f(x)}{\ln(a)}}={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a)}}.$

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций, таких как синус и косинус, описывают, как эти функции изменяются при изменении угла. Эти производные особенно полезны в физике и инженерии для анализа колебательных процессов. Производные обратных тригонометрических функций показывают, как изменяется угол в зависимости от изменения значений функции^[4].

${d \over dx}\sin x=\cos x$

Шаблон:Вывод

${d \over dx}\cos x=-\sin x$

${d \over dx}\,\operatorname {tg} \,x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} ^{2}x+1$

${d \over dx}\,\operatorname {ctg} \,x=-\,\operatorname {cosec} ^{2}\,x=-{1 \over \sin ^{2}x}$

${d \over dx}\sec x=\,\operatorname {tg} \,x\sec x$

${d \over dx}\,\operatorname {cosec} \,x=-\,\operatorname {ctg} \,x\,\operatorname {cosec} \,x$

${d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arctg} \,x={1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arcctg} \,x=-{1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccosec} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Производные гиперболических функций

Гиперболические функции, подобные тригонометрическим, имеют свои производные, которые описывают их изменение. Например, гиперболический синус и косинус имеют производные, которые помогают анализировать гиперболические кривые и процессы^[5].

{d \over dx}\,\operatorname {sh} \,x=\,\operatorname {ch} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {ch} \,x=\,\operatorname {sh} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {th} \,x=\,\operatorname {sech} ^{2}\,x=1-\operatorname {th} ^{2}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {cth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {cth} \,x\,\operatorname {csch} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {arsh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arch} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arth} \,x={1 \over 1-x^{2}}

, при

|x|<1

{d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arcth} \,x={1 \over 1-x^{2}}

, при

|x|>1

{d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}

Правила дифференцирования общих функций

Существуют правила, которые упрощают нахождение производных сложных функций. Эти правила включают^[6]:

Правило суммы и разности: производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.
Правило произведения: производная произведения двух функций определяется с учётом производных каждой из функций.
Правило частного: производная частного двух функций вычисляется на основе производных числителя и знаменателя.
Правило цепочки: используется для нахождения производной сложной функции, которая является композицией нескольких функций. Оно позволяет дифференцировать «вложенные» функции последовательно, начиная с внешней и двигаясь к внутренней.