Среднее арифметическое

Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) — показатель, который характеризует центральную тенденцию распределения данных. Для его вычисления необходимо сложить все числовые значения множества и разделить на их количество.

Понятие среднего арифметического можно распространить на бесконечные последовательности при условии, что соответствующие ряды и их произведения сходятся. Также это понятие применимо к функциям.

Из истории

Классическими средними значениями для двух поло­жительных чисел $a$ и $b$ принято считать среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное. В одном из древнегреческих текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту, среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое определялись как равные члены арифметической, геометрической и гармонической «пропорций» соответственно.

Качели со средним арифметическим

С изучением числовых бесконечных рядов, были выделены ряды чисел, в которых каждый член, начиная со второго, был равен одной из средних величин двух соседних членов. В случае, если это среднее было арифметическим, такие ряды стали называть арифметическими прогрессиями. Например, натуральный ряд чисел: $1;2;3;4;...$.

Для каждой из классических средних величин существуют обобщения, называемые средними взвешенными, которые первоначально появились в математике из рас­смотрения физических процессов. Название объясняется простой механической моделью: если $x_{1},x_{2},...,x_{n}$— координаты п материальных точек, $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ — соответственно их массы, то взвешенное среднее арифметическое — координата центра масс этой системы точек. Арифметическое среднее также можно представить как точку равновесия, аналогичную центру тяжести в физике.

Виды среднего арифметического

Средняя величина — наиболее часто используемый статистический показатель, который применяется для описания совокупности однотипных явлений по одному из изменяющихся признаков. В статистике применяются два класса средних: структурные, которые используются для характеристики структуры вариационного ряда, и степенные (аналитические), к группе которых относят среднюю арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую.

Различают два способа вычисления среднего арифметического:

1. простое среднее арифметическое ${\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$;

2. среднее взвешенное ${\frac {x_{1}\cdot m_{1}+\cdots +x_{n}\cdot m_{n}}{m_{1}+\cdots +m_{n}}}$.

При вычислении простого среднего арифметического предполагается, что все элементы ряда имеют равную значимость. Однако в реальных условиях значения элементов могут быть неравнозначными. В таких случаях простое среднее арифметическое не сможет точно отразить предоставленные данные, если не учитывать разную значимость элементов. Поэтому необходимо присваивать элементам различные веса́. Веса распределяются в зависимости от относительной важности каждого элемента. Более значимые элементы получают бо́льший вес.

Формулы для нахождения среднего арифметического

Обозначим множество чисел X = (x₁, x₂, …, x_n). В таком случае среднее арифметическое принято обозначать с помощью горизонтальной черты над переменной ${\bar {x}}$:

Формула для двух чисел

Для получения среднего арифметического двух чисел необходимо сложить их и разделить на два:

${\bar {x}}$ = ${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.$ Например: ${\bar {x}}$ = ${\frac {3+5}{2}}=4.$

Формула для трёх чисел

Для получения среднего арифметического трёх чисел необходимо сложить их и разделить на три:

${\bar {x}}$ = ${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.$ Например: ${\bar {x}}$ = ${\frac {2+5+8}{3}}=5.$

Общая формула

Чтобы найти среднее арифметическое число, необходимо сложить все числа, а затем разделить их на количество слагаемых:

${\bar {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}.$

Свойства среднего арифметического

Среднее арифметическое обладает рядом важных свойств:

• Если к каждому числу в наборе прибавить одно и то же число, среднее арифметическое нового набора увеличится на это число.
• Если каждое число в наборе умножить на одно и то же число (не равное нулю), среднее арифметическое нового набора тоже увеличится в это число раз.
• Если к набору добавить число, превышающее среднее арифметическое исходного набора, среднее арифметическое нового набора станет больше. Если же добавить число, меньшее среднего арифметического, среднее арифметическое нового набора уменьшится.
• Среднее арифметическое набора чисел — большее наименьшего и меньшее наибольшего. Оно всегда будет находиться между этими крайними значениями.

Определение отклонений

Для применения степенных средних в статистическом анализе необходимо, чтобы совокупность была однородной. Применение среднего арифметического позволяет обнаружить отклонения или аномалии в данных. Если какое-либо значение существенно отличается от среднего, это может свидетельствовать об исключительных или аномальных наблюдениях.

Отклонения от среднего арифметического — показатель, который отражает уровень риска (например, если рассматривают набор данных о доходности за определённый период). При расчёте средней величины, необходимо учитывать аномальные или резко выделяющиеся наблюдения. Их либо исключают из анализа, что сделает совокупность более однородной, либо разделяют её на однородные группы. В этом случае вычисляются средние значения для каждой группы, и дальнейший анализ проводится на основе групповых средних, а не общей средней.