Невозможное событие

Игральный кубик

Невозмо́жное собы́тие — фундаментальное понятие теории вероятностей, обозначающее событие, которое никогда не происходит в результате эксперимента. Ему соответствует пустое подмножество в пространстве элементарных исходов — Ω, которое обозначается ∅. Вероятность наступления невозможного события равна нулю.

Пространство элементарных исходов

Пусть задано пространство элементарных исходов Ω, которое представляет собой множество всех возможных результатов эксперимента. Каждый элементарный исход ω является элементом этого множества. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода — «пустое множество» ∅.

Определение

Невозможное событие — это событие, которое в рамках заданных условий не может произойти ни при каких обстоятельствах. В контексте вероятностного пространства (Ω, F, P), где Ω — множество всех возможных элементарных исходов, F — σ-алгебра событий, а P — вероятностная мера, невозможное событие определяется как пустое множество ∅ ∈ F. Оно не содержит ни одного элементарного исхода и, следовательно, никогда не происходит.

Связь с достоверным событием

Невозможное событие является дополнением достоверного события Ω (множества всех исходов). Если A — достоверное событие, то его дополнение Ā — невозможное событие, которое обозначается символом ∅ и имеет вероятность:

                                                                        P(∅) = 0

Доказательство:

Согласно аксиомам теории вероятностей:

1. ∅ ∈ F , поскольку σ-алгебре F принадлежит само событие Ω и его дополнение ∅.
2. Ω + ∅ = Ω .

События Ω и ∅ являются несовместными Ω*∅ = ∅. Вероятность суммы двух несовместных событий по аксиомам теории вероятностей будет равна:

                                                              P(Ω + ∅) = P(Ω) + P(∅) = P(Ω)

Согласно аксиоматике Колмогорова P(Ω) = 1, поэтому:

                                                             P(Ω) + P(∅) = P(Ω) ⇔ 1 + P(∅) = 1

Отсюда следует, что P(∅) = 0.

Примечание:

1. Принцип Ι. Можно практически быть уверенным, что если комплекс условий будет повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число случаев, при которых событие А наступило, то отношение $\left({\frac {m}{n}}\right)$ будет мало отличаться от Р (А).
2. Принцип ΙΙ. Если Р (А) очень мало, то можно практически быть уверенным, что при однократной реализации условий S событие А не будет иметь места.

Невозможному событию (пустому множеству ∅ соответствует в силу наших аксиом вероятность Р(∅) = 0, в то время как, наоборот, из Р (A) = 0 не следует ещё невозможность события А; согласно принципу ΙΙ из обращения вероятности в нуль следует только, что при однократной реализации условий σ событие А практически невозможно. Это, однако, не означает, что при достаточно длинном ряде испытаний событие A также не наступит. Согласно принципу Ι можно лишь утверждать, что при Р (А) = 0 и большом n отношение $\left({\frac {m}{n}}\right)$ будет мало.

Практически невозможные события

Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю. Практически невозможные и достоверные события формируют основу для прикладных применений теории вероятностей, включая статистические выводы и моделирование случайных процессов.

В реальных условиях событие считается практически невозможными, если его вероятность отличается от 0 на допустимую погрешность ε.

---

Примеры невозможных событий

1. При бросании двух игральных костей невозможно появление суммы очков равной тринадцати.
2. Выпадение числа семь на правильном шестигранном кубике. Вероятность такого события равна нулю, ведь благоприятных исходов нет.
3. Рассмотрим, например, следующий опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешаны между собой; вынимается одна карточка, изображенная на ней буква записывается, после чего вынутая карточка возвращается обратно, и карточки перемешиваются. Такой опыт производится 25 раз. Рассмотрим событие А, заключающееся в том, что после 25 вниманий мы запишем первую строку «Евгения Онегина»:

                                                            «Мой дядя самых честных правил».

Такое событие не является логически невозможным; можно подсчитать его вероятность, которая равна:

                                                                         $\left({\frac {1}{32}}\right)^{25}$

Но ввиду того что вероятность события А ничтожно мала, можно считать его практически невозможным.