Прямолинейная тригонометрия

Прямолинейная тригонометрия (устар.) - раздел планиметрии (евклидовой геометрии на плоскости) в дореволюционной русской школе (гимназии, реальном училище), в переводе с греческого, буквально, - "измерение треугольника" (τρίγωνον - треугольник, μετρείν - измерять). Измерить или решить треугольник - это значит по отдельным его заданным элементам (сторона (катет, гипотенуза), угол, высота, медиана, биссектриса, радиусы вписанных и описанных окружностей) определить иные нужные элементы. Практическое применение: измерение размеров объектов, расстояний, высот при отсутствии возможности прямого контакта.

Задачи решаются посредством построений, или, графическим способом, либо способом вычислений, или, собственно, тригонометрическим способом. Последний базируется на отношениях между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Они называются основными тригонометрическими величинами.

Отношение противолежащего углу катета к гипотенузе получило название синуса (sinus, sin). Это понятие использовали индийские математики, определив его термином "ardhagiva" (половина тетивы лука). Арабские переводчики транслировали "giva" как "giba" и к тому же, в соответствии с правилами арабского языка, исключили гласные буквы. Получилось "gb", что можно прочитать как чисто арабское слово "gaib", что означает "залив", а по-латыни "sinus". Это слово впервые было употреблено в XII веке переводчиком арабского трактата. Вторая версия происхождения понятия связана с термином "полухорда" в латинском языке. "Semi recta inscripta" (половина вписанной прямой) - semi inscr. - s.ins. - sins - "sinus". Так или иначе, синус есть отвлеченное число, которое показывает, какую часть гипотенузы составляет катет.

Для удобства решения прямоугольных треугольников были введены отношения противолежащего катета к прилежащему - "tangens" (касательная); и гипотенузы к прилежащему катету - "secans" (пересекающая). В прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет прямой угол, иными словами один такой угол дополняется другим углом до прямого. Для дополнительных углов были введены особые тригонометрические величины: "complementi (дополнение) sinus", "compl. tangens", "co-secans", то есть привычные сегодня косинус (cos), котангенс (ctg) и косеканс (csc).

При выяснении понятий о тригонометрических величинах угла была установлена их зависимость от величины угла. Тем самым величина угла стала рассматриваться как независимая переменная величина (аргумент), а названные тригонометрические величины - как зависимые переменные величины, то есть функции. Такие функции (sin,cos,tg,ctg,sec,csc) получили название гониометрических (от греч. γωνία - угол, μετρείν - измерять), а соответствующий раздел гимназического математического курса - гониометрии.

Математический аппарат гониометрии в измерении углов позволил выйти за пределы измерений треугольника и обратиться к изучению периодических процессов, связанных с представлением об угле как результате вращательного движения радиуса окружности.

Взаимозависимость величины угла или дуги окружности и соответствующей гониометрической функции позволила ввести в практический инструментарий понятие обратных гониометрических функций.

Если y = sin x есть прямая функция, то и x может рассматриваться как обратная функция y. Углы и дуги можно рассматривать как обратные функции тригонометрических величин. Зависимость, к примеру, синуса от дуги (угла) выражается уравнением y = sin x, а обратная зависимость дуги (угла) от значения синуса получает вид x = arc sin y. Последнее читается: x есть дуга (arcus, "арка"), синус угла которой равен y. Точно так же и всем иным гониометрическим функциям могут быть поставлены в соответствие обратные функции arc cos y, arc tg y, arc ctg y, arc sec y, arc csc y.

Все вышеназванные функции изучаются и используются в современном курсе школьной математики. Они получили общее название тригонометрических. А весь раздел, объединивший прежние гимназические курсы "прямолинейная тригонометрия" и "гониометрия", теперь называется тригонометрия.