Ляпунов, Александр Михайлович

Ляпунов, Александр Михайлович
Ляпунов, Александр Михайлович
Дата рождения	6 июня (25 мая) 1857(1857-05-25)
Место рождения	Ярославль
Дата смерти	3 ноября 1918(1918-11-03) (61 год)
Место смерти	Одесса
Научная сфера	Математика, механика
Место работы	Харьковский университет, Санкт-Петербургский университет
Альма-матер	физико-математический факультет
Научный руководитель	П. Л. Чебышёв
Ученики	Н. Н. Салтыков,В. А. Стеклов

Алекса́ндр Миха́йлович Ляпуно́в (6 мая (25 мая) 1857, Российская Империя  — 3 ноября (16 ноября) 1918, Одесса, Российская Советская Республика) — выдающийся российский математик и механик. Он был членом-корреспондентом Петербургской Академии наук с 1901 года. Александр Михайлович был братом Бориса Михайловича Ляпунова и Сергея Михайловича Ляпунова, учеником Пафнутием Львовича Чебышёва. В 1880 году он закончил Санкт-Петербургский университет и с 1885 года преподавал в Харьковском университете (стал профессором в 1893 году). С 1902 года он работал в Петербургской Академии наук.

Биография

Александр Михайлович Ляпунов родился 6 июня 1857 года в Ярославле. Его отец, известный астроном М. В. Ляпунов, на тот момент руководил Демидовским лицеем. Сразу после поступления в третий класс гимназии в Нижнем Новгороде в 1870 году, Александр проявил интерес к точным наукам, продолжая своё обучение в старших классах. В 1876 году он успешно завершил обучение в гимназии с золотой медалью и поступил на физико-математический факультет Петербургского университета.

С самого начала университетского обучения Ляпунов углублённо изучал химию и с увлечением посещал лекции Д. И. Менделеева. В дальнейшем он осознал своё пристрастие к математическим наукам и переключился на математическое направление обучения в университете, продолжая посещать лекции Менделеева. Значительное влияние на его будущую научную и преподавательскую деятельность оказали лекции и консультации Чебышёва. В 1880 году Ляпунов завершил обучение в Петербургском университете. В следующем году были опубликованы две работы молодого учёного: «О равновесии твёрдых тел в тяжёлых жидкостях в сосуде определённой формы» и «О потенциале гидростатического давления».

В 1885 году он защитил диссертацию на тему «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» и получил степень магистра. Это исследование немедленно привлекло внимание учёных по всему миру. Получив степень магистра, Ляпунов начал преподавать математику. В том же году ему было предложено занять кафедру механики в Харьковском университете, где он преподавал до 1902 года, пользуясь уважением студентов и коллег. Он также преподавал аналитическую механику в Харьковском технологическом институте.

С начала 1888 года Александр Михайлович начал публиковать работы по устойчивости движения механических систем с ограниченным числом степеней свободы. В 1892 году он успешно защитил докторскую диссертацию на эту тему. Ляпунов внёс значительный вклад в развитие теории устойчивости равновесия и движения механических систем с конечным числом параметров. Его работы содержат множество фундаментальных результатов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, включая как линейные, так и нелинейные. Научные труды Ляпунова получили признание во всём мире.

Домашнее образование, гимназия и университет

Отцом учёного был известный астроном и преподаватель в Казанском университете. Перед рождением Саши семья переехала в Ярославль, где отец стал директором Демидовского лицея. Сашу и его младших братьев, Сергея и Бориса, до семи лет воспитывала их мать, а затем занялся их обучением отец. Он скончался, когда Саше было 11 лет, и заботу о его образовании взял на себя родственник Рафаиль Сеченов. Он также обучал свою дочь, Наталью, которая в 29 лет вышла замуж за юного учёного. В 1870 году семья переехала в Нижний Новгород, где Саша продолжил учёбу, а в 1876 году поступил на физико-математический факультет Санкт-Петербургского университета. Вскоре он переквалифицировался на математическое направление и подружился с Андреем Марковым.

Успешная учёба и преподавательская деятельность

Во время учёбы в Санкт-Петербургском университете, Александр проявил интерес к химии, посещал лекции Менделеева и математика Чебышёва, который стал его наставником. В 1881 году он представил две научные работы по гидростатике: одну о равновесии тяжёлых тел в тяжёлых жидкостях и вторую об потенциале гидростатических давлений. После успешной сдачи магистерских экзаменов в 1882 году, Ляпунов начал искать тему для своей магистерской диссертации. Чебышёв предложил ему исследовательский вопрос, ставший ключевым направлением его работы на протяжении многих лет. Вопрос заключался в том, могут ли эллипсоидальные формы терять свои свойства равновесия при достижении определённой угловой скорости и принимать новые формы равновесия.

Хотя магистерская диссертация не дала ответа на вопрос Чебышева, в 1884 году Ляпунов представил диссертацию о стабильности эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости. Он успешно защитил её в Санкт-Петербургском университете и стал приват-доцентом в Харьковском университете, где преподавал механику и продолжал исследования для своей докторской диссертации.

Александр защитил свою докторскую диссертацию с названием «Общая задача о стабильности движения» или «Общая теория устойчивости» в Московском университете 30 сентября 1892 года, что привело к присвоению ему докторской степени. В своём научном исследовании Ляпунов разъяснил, как внешние силы воздействуют на движущиеся объекты и системы, и как это влияет на их устойчивость. Его теория позволила предсказать поведение различных механических систем, будь то ракета, испытывающая воздействие ветра, автомобиль после столкновения или планеты, взаимодействующие друг с другом в космосе. После этого Александр был назначен профессором в Харьковском университете, где он работал до 1902 года. Он сыграл значительную роль в Харьковском математическом обществе, занимая должность вице-президента с 1891 года по 1898 год и президента с 1899 года по 1902 год. Кроме того, он был редактором журнала «Известия Харьковского математического общества».

В 1900 году за свои выдающиеся достижения в области математики Ляпунов был избран членом-корреспондентом Российской академии наук в Санкт-Петербурге. В последующем году Александр получил звание академика по направлению прикладной математики и в 1902 году переехал в Петербург, где проживал до 1915 года. В Петербурге Ляпунов полностью посвятил себя научной деятельности. Он вернулся к задаче, которую 20 лет назад поставил перед ним Чебышёв. Свои исследования учёный строил на основе вариационного принципа Томсона-Тейта. Александр Михайлович продемонстрировал, что условием устойчивости является положительность вторых и более высоких вариаций потенциальной энергии. Ляпунов отметил, что добавление определённых дополнительных ограничений к первой вариации снижает универсальность его метода, однако он заметил:

«Но в этом аспекте вряд ли какой-либо другой метод исследования можно было бы назвать полностью удовлетворительным».

В процессе своих исследований Ляпунов пришёл к выводу, что при изменении угловой скорости вращения эллипсоиды Маклорена превращаются в эллипсоиды Якоби. Ключевым моментом этого перехода является эллипсоид разветвления, соответствующий вращающемуся эллипсоиду Якоби. В 1905 году его работа «Об одной задаче Чебышёва» была опубликована в «Записках Академии наук». В период с 1906 года по 1914 годы было издано на французском языке четырёхтомное произведение Ляпунова «О фигурах равновесия однородной вращающейся жидкости, мало отличающихся от эллипсоидальных».

Научная деятельность

Исследования А. М. Ляпунова сосредоточены на теории фигур равновесия вращающейся жидкости, где частицы притягиваются друг к другу согласно закону всемирного тяготения. Александр Михайлович впервые доказал наличие фигур равновесия как для однородной, так и для слабо неоднородной жидкости, которые приближаются к форме эллипсоида. Он выяснил, что некоторые эллипсоидальные фигуры равновесия могут превращаться в не-эллипсоидальные для однородной жидкости, в то время как другие эллипсоидальные фигуры равновесия могут превращаться в фигуры равновесия для слабо неоднородной жидкости.

Ляпунов также изучил задачу, предложенную П. Л. Чебышёвым, о превращении эллипсоидальной фигуры равновесия с максимальной угловой скоростью в не-эллипсоидальные фигуры равновесия, и пришёл к отрицательному результату. Он доказал существование фигур равновесия, близких к сфере, для медленно вращающейся неоднородной жидкости в общих условиях изменения плотности в глубине. Он также исследовал устойчивость как эллипсоидальных, так и новых фигур равновесия для однородной жидкости. Его исследования по устойчивости фигур равновесия принесли ясность в этом вопросе, проведя тщательный математический анализ. Среди других результатов, он продемонстрировал неустойчивость так называемых «грушевидных» фигур равновесия и опроверг утверждение Джорджа Дарвина. Исследования Ляпунова в области фигур равновесия вращающейся жидкости и их устойчивости играют важную роль в теории фигур равновесия.

Работы А. М. Ляпунова по некоторым аспектам математической физики, хоть и небольшого объёма, имели значительное значение для последующего развития науки. Одним из ключевых трудов было его исследование «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле» (1898), основанное на изучении потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределённых по поверхности. Ляпунов подробно изучил потенциал двойного слоя, который известен как случай диполей. Он получил важные результаты о поведении производных решения задачи Дирихле (гармонические функции) при приближении к граничной поверхности. На основе этого Ляпунов впервые доказал симметрию функции Грина для задачи Дирихле и представил формулу решения задачи в виде интеграла по поверхности.

В области теории вероятностей Ляпунов предложил новый метод исследования, известный как метод «характеристических функций», который отличается своей общностью и результативностью. Расширяя исследования Чебышёва и Маркова, в 1901 году он доказал центральную предельную теорему, устанавливающую общие условия сходимости распределения суммы независимых случайных величин к нормальному распределению. Среди его значимых работ можно выделить:

• «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» (магистерская диссертация, 1885).
• «Общая задача об устойчивости движения» (докторская диссертация, 1892).
• «О постоянных винтовых движениях твёрдого тела в жидкости» (Сообщения Харьковского математического общества, 1890).
• статьи в изданиях Академии Наук.

Научные труды

Одним из ключевых достижений Ляпунова стала разработка теории устойчивости равновесия и движения механических систем, которые определяются конечным числом параметров. Суть этой математической теории заключается в изучении поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимой переменной к бесконечности. Его работы по теории устойчивости движения являются важным научным фундаментом для различных автоматических устройств, включая системы управления полётом самолётов и ракет.