Дисперсия случайной величины

Нормальный закон распределения с различной дисперсией: красный — малая дисперсия; зелёный — большая дисперсия

Диспе́рсия случа́йной величины́ — в теории вероятностей числовая характеристика отклонения случайной величины от её математического ожидания. Эта величина представляет собой центральный момент второго порядка. Стандартными для её обозначения являются $Var\xi$, $D\xi$.

Определение

Дисперсией случайной величины $\xi$ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания $E\xi$. Математическая формула имеет вид:

$Var\xi =E(\xi -E\xi )^{2}$.

С учётом свойств математического ожидания это соотношение может быть преобразовано следующим образом:

$Var\xi =E\xi ^{2}-(E\xi )^{2}$.

Вычисление дисперсии возможно только при условии существования математического ожидания. Если математическое ожидание случайной величины $\xi$ не существует, то дисперсия для неё не имеет смысла. Примером такой случайной величины является распределение Коши. При этом существование математического ожидания ещё не гарантирует существование дисперсии.

В произвольном случае дисперсия задаётся через интеграл Лебега-Стилтьеса. Производящей функцией для него служит функция распределения случайной величины $\xi$ — $F_{\xi }(x)$:

$Var\xi =\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-E\xi )^{2}dF_{\xi }(x)$.

Для дискретных случайных величин, принимающих не более чем счётное множество значений, эта формула превращается в сумму:

$Var\xi =\sum _{i}(x_{i}-E\xi )^{2}\cdot p_{i}=\sum _{i}x_{i}^{2}\cdot p_{i}-(E\xi )^{2}$.

Здесь $x_{i}$ — значения случайной величины $\xi$, а $p_{i}$ — их вероятности. Для абсолютно непрерывной случайной величины $\xi$ при известной плотности распределения $p_{\xi }(x)$ дисперсия вычисляется как интеграл:

$Var\xi =\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-E\xi )^{2}p_{\xi }(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{2}p_{\xi }(x)dx-(E\xi )^{2}$.

Дисперсия не является единственной изучаемой мерой отклонения. Существуют другие меры отклонения, например, первый абсолютный центральный момент $E|\xi -E\xi |$ или $E(\xi -E\xi )^{4}$ центральный момент четвёртого порядка. Кроме того, рассматриваются отклонения, основанные на квантилях.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Это неудобно для анализа разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. В связи с этим в рассмотрение была введена характеристика, являющаяся корнем из дисперсии: $\sigma \xi ={\sqrt {Var\xi }}$. Она носит название стандартного отклонения или среднего квадратического (квадратичного) отклонения и имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Свойства дисперсии

• Дисперсия всегда неотрицательна: $Var\xi \geqslant 0$. Отрицательная дисперсия не имеет смысла.
• Дисперсия вырожденной случайной величины равна нулю: $VarC=0$, где $C$ — некоторая постоянная величина. Вырожденная случайная величина является единственной случайной величиной, для которой дисперсия равна нулю.
• Константа выносится за знак дисперсии в квадрате: $Var(C\xi )=C^{2}Var\xi$.
• Дисперсия случайной величины не зависит от её сдвига на произвольную постоянную: $Var(\xi +C)=Var\xi$.
• Если случайные величины $\xi _{1},\xi _{2},...\xi _{n}$ независимы, то дисперсия суммы случайных величин может быть вычислена как сумма их дисперсий: $Var(\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n})=Var\xi _{1}+Var\xi _{2}+...+Var\xi _{n}$. Однако обратное, вообще говоря, неверно. Это означает, что из указанного равенства независимость не следует.
• В общем случае формула для вычисления дисперсии суммы имеет вид: $Var(\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n})=Var\xi _{1}+Var\xi _{2}+...+Var\xi _{n}+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}cov(\xi _{i},\xi _{j})$. Приведённая в этом соотношении числовая характеристика $cov(\xi _{i},\xi _{j})$ является ковариацией случайных величин $\xi _{i}$ и $\xi _{j}$.

Примеры вычисления

Приведём пример вычисления дисперсии для дискретной случайной величины $\xi$. Пусть рассматривается распределение Пуассона: $P(\xi =k)=e^{-\lambda }\cdot {\frac {\lambda ^{k}}{k!}},k=0,1,2,...$Для вычисления дисперсии удобно использовать так называемый второй факториальный момент случайной величины $\xi$:

$E(\xi (\xi -1))=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)e^{-\lambda }\cdot {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=\lambda ^{2}e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-2}}{(k-2)!}}=\lambda ^{2}e^{-\lambda }\lambda ^{2}e^{\lambda }=\lambda ^{2}$.

На основании этого момента дисперсия ищется следующим образом: $Var\xi =E(\xi (\xi -1))+E\xi -(E\xi )^{2}$. Учитывая, что для закона Пуассона Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle E\xi =\lambda } , получаем: $Var\xi =\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda$.

Рассмотрим теперь вычисление дисперсии для абсолютно непрерывной случайной величины. Пусть имеется случайная величина $\xi$, подчиняющаяся равномерному закону с плотностью Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle p_{\xi }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\text{если }}a\leqslant x\leqslant b,\\0,&{\text{в остальных случаях. }}\end{cases}}} Математическое ожидание этой случайной величины известно и определяется по формуле Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle E\xi ={\frac {a+b}{2}}} . Второй начальный момент $E\xi ^{2}$, необходимый для вычисления дисперсии, равен:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle E\xi ^{2}=\int \limits _{a}^{b}x^{2}\cdot {\frac {1}{b-a}}dx={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {b^{3}-a^{3}}{b-a}}={\frac {b^{2}+ab+a^{2}}{3}}} .

Отсюда Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle Var\xi ={\frac {b^{2}+ab+a^{2}}{3}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}} .

Ещё одним примером вычисления дисперсии случайной величины может служить её определение с использованием свойств. Рассмотрим случайную величину $\xi$, распределённую по биномиальному закону с вероятностями $p$ и $q=1-p$ и $n$ испытаниями. Её можно представить как сумму независимых индикаторных случайных величин Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{n}} : Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \xi =\sum _{k=1}^{n}\eta _{k}} , где каждая из случайных величин $\eta _{k}$ принимает значение $0$ с вероятностью $q$ и $1$ с вероятностью $p$. Тогда Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle E\eta _{k}=0\cdot q+1\cdot p=p} , а Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle E\eta _{k}^{2}=0^{2}\cdot q+1^{2}\cdot p=p} . Таким образом, $Var\eta _{k}=p-p^{2}=pq$. Используя независимость случайных величин $\eta _{k}$, для дисперсии $\xi$ получаем: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle Var\xi =Var\left(\sum _{k=1}^{n}\eta _{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}Var\eta _{k}=\sum _{k=1}^{n}pq=npq} .

Применение

Применение дисперсии в теории вероятностей и математической статистике связано с двумя важными направлениями. Первое относится к предельным теоремам теории вероятностей. Например, если известны математическое ожидание и дисперсия суммы большого числа случайных величин, то можно найти аппроксимацию закона распределения этой суммы. В соответствии с центральной предельной теоремой результатом будет нормальный закон с соответствующими параметрами.

Другим примером применения дисперсии в предельных теоремах служит следующий факт. Если для последовательности случайных величин $\xi _{1},\xi _{2},...\xi _{n}$ $Var\xi _{n}\rightarrow 0$ при Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle n\rightarrow \infty } , то для любого положительного значения $\varepsilon$ Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle P\left(|\xi _{n}-E\xi _{n}|>\varepsilon \right)\rightarrow 0} . Это означает, что при больших значениях $n$ случайная величина $\xi _{n}$ практически совпадает с её математическим ожиданием. Продолжение подобных представлений позволяет доказывать закон больших чисел, обосновывать состоятельность статистических оценок. Кроме того, возможны и другие применения, где для случайных величин выявляется сходимость по вероятности.

Другое применение в области предельных теорем связано с понятием нормировки. Для проведения нормировки случайной величины $\xi$ необходимо вычесть из неё математическое ожидание, после чего результат поделить на среднее квадратическое отклонение Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \sigma \xi } , то есть вводится в рассмотрение случайная величина Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \eta ={\frac {\xi -E\xi }{\sigma \xi }}} . Нормировка последовательности случайных величин обычно необходима для получения сходящейся последовательности законов распределения, в частности сходимости к стандартному нормальному закону.

Вторым направлением является применение понятия дисперсии в математической статистике при обработке выборок. Для анализа результатов наблюдений часто необходимо рассматривать не один теоретический закон распределения $F_{\xi }(x)$ случайной величины $\xi$, а семейство законов распределения, зависящих, как минимум, от двух параметров — математического ожидания и дисперсии. В этом случае анализ выборочных данных также производится с предварительным использованием нормировки.