Дисперсия случайной величины

Файл:Variance various.svg
Нормальный закон распределения с различной дисперсией: красный — малая дисперсия; зелёный — большая дисперсия

Диспе́рсия случа́йной величины́ — в теории вероятностей числовая характеристика отклонения случайной величины от её математического ожидания. Эта величина представляет собой центральный момент второго порядка. Стандартными для её обозначения являются Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var\xi} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\xi} [1][2][3][4].

Определение

Дисперсией случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\xi} . Математическая формула имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = E ( \xi - E \xi ) ^2} .

С учётом свойств математического ожидания это соотношение может быть преобразовано следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = E \xi ^2 - ( E \xi ) ^2} [5].

Вычисление дисперсии возможно только при условии существования математического ожидания. Если математическое ожидание случайной величины Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \xi } не существует, то дисперсия для неё не имеет смысла. Примером такой случайной величины является распределение Коши. При этом существование математического ожидания ещё не гарантирует существование дисперсии[1][3].

В произвольном случае дисперсия задаётся через интеграл Лебега-Стилтьеса. Производящей функцией для него служит функция распределения случайной величины Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \xi } — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_\xi(x)} :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi=\int \limits_ {-\infty} ^ {\infty} (x - E \xi ) ^2 dF_\xi (x)} [1][3].

Для дискретных случайных величин, принимающих не более чем счётное множество значений, эта формула превращается в сумму:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = \sum_{i} ( x_i - E \xi ) ^2 \cdot p_i =\sum_{i} x_i ^2 \cdot p_i - (E \xi )^2} .

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_i} — значения случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_i} — их вероятности. Для абсолютно непрерывной случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} при известной плотности распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_ \xi (x)} дисперсия вычисляется как интеграл:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = \int \limits_{- \infty} ^ { \infty}( x - E \xi) ^2 p_ \xi(x) dx = \int \limits_{- \infty }^{ \infty } x^2 p_ \xi (x) dx - ( E \xi )^2} [1][2].

Дисперсия не является единственной изучаемой мерой отклонения. Существуют другие меры отклонения, например, первый абсолютный центральный момент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E| \xi - E \xi |} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E( \xi - E \xi )^4} центральный момент четвёртого порядка. Кроме того, рассматриваются отклонения, основанные на квантилях[1].

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Это неудобно для анализа разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. В связи с этим в рассмотрение была введена характеристика, являющаяся корнем из дисперсии: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma \xi = \sqrt{Var \xi}} . Она носит название стандартного отклонения или среднего квадратического (квадратичного) отклонения и имеет ту же размерность, что и случайная величина[1][2][6].

Свойства дисперсии

  • Дисперсия всегда неотрицательна: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi \geqslant 0} . Отрицательная дисперсия не имеет смысла[5].
  • Дисперсия вырожденной случайной величины равна нулю: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var C = 0} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} — некоторая постоянная величина. Вырожденная случайная величина является единственной случайной величиной, для которой дисперсия равна нулю[5][7].
  • Константа выносится за знак дисперсии в квадрате: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var (C \xi) = C^2 Var \xi} [6].
  • Дисперсия случайной величины не зависит от её сдвига на произвольную постоянную: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var ( \xi+C) = Var \xi} [7].
  • Если случайные величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_1, \xi_2, ... \xi_n} независимы, то дисперсия суммы случайных величин может быть вычислена как сумма их дисперсий: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var ( \xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n ) = Var \xi_1 + Var \xi_2 + ... + Var \xi_n} . Однако обратное, вообще говоря, неверно. Это означает, что из указанного равенства независимость не следует[1][4].
  • В общем случае формула для вычисления дисперсии суммы имеет вид: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var ( \xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n) = Var \xi_1 + Var \xi_2 + ... + Var \xi_n + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} cov( \xi_i, \xi_j )} . Приведённая в этом соотношении числовая характеристика Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle cov( \xi_i,\xi_j )} является ковариацией случайных величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_i} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_j} [1].

Примеры вычисления

Приведём пример вычисления дисперсии для дискретной случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} . Пусть рассматривается распределение Пуассона: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(\xi=k)=e^{- \lambda } \cdot \frac{ \lambda ^k} {k!}, k = 0, 1, 2, ...} Для вычисления дисперсии удобно использовать так называемый второй факториальный момент случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} [7][6]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E( \xi ( \xi - 1 ) ) = \sum_{ k = 0 }^ \infty k (k-1) e^{- \lambda } \cdot \frac { \lambda ^k } { k! } = \lambda^2 e^{- \lambda } \sum_{k = 0}^\infty \frac{ \lambda^{k-2} } { (k-2)! } = \lambda ^2 e^{ - \lambda } \lambda^2 e^{ \lambda } = \lambda^2} .

На основании этого момента дисперсия ищется следующим образом: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = E( \xi ( \xi - 1 ) ) + E \xi - ( E \xi )^2} . Учитывая, что для закона Пуассона Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E \xi = \lambda} , получаем: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = \lambda^2 + \lambda -\lambda^2 = \lambda} [7][6].

Рассмотрим теперь вычисление дисперсии для абсолютно непрерывной случайной величины. Пусть имеется случайная величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} , подчиняющаяся равномерному закону с плотностью Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_ \xi (x) = \begin {cases} \frac {1} {b-a}, & \text {если } a \leqslant x \leqslant b, \\ 0, & \text {в остальных случаях. } \end {cases}} Математическое ожидание этой случайной величины известно и определяется по формуле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E \xi = \frac {a+b}{2}} . Второй начальный момент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E \xi ^2} , необходимый для вычисления дисперсии, равен[3]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E \xi ^2 = \int \limits_{a}^{b} x^2 \cdot \frac {1}{b-a} dx =\frac {1}{3} \cdot \frac {b^3-a^3}{b-a} = \frac {b^2+ab+a^2}{3}} .

Отсюда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = \frac {b^2 + a b + a^2} {3} - \left ( \frac {a+b} {2} \right )^2 = \frac {(b - a)^2} {12}} [3].

Ещё одним примером вычисления дисперсии случайной величины может служить её определение с использованием свойств. Рассмотрим случайную величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} , распределённую по биномиальному закону с вероятностями Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q = 1 - p} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} испытаниями. Её можно представить как сумму независимых индикаторных случайных величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta_1, \eta_2,..., \eta_n} : Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi = \sum_{k=1}^n \eta_k} , где каждая из случайных величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta_k} принимает значение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} с вероятностью Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} с вероятностью Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} . Тогда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E \eta_k = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E \eta_k ^ 2 = 0^2 \cdot q +1^2 \cdot p = p} . Таким образом, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \eta_k = p - p^2 = p q} . Используя независимость случайных величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta_k} , для дисперсии Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} получаем: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi = Var \left( \sum_{k=1} ^n \eta_k \right) = \sum_{k=1} ^n Var \eta_k = \sum_{k=1} ^n p q = n p q} [7][6].

Применение

Применение дисперсии в теории вероятностей и математической статистике связано с двумя важными направлениями. Первое относится к предельным теоремам теории вероятностей. Например, если известны математическое ожидание и дисперсия суммы большого числа случайных величин, то можно найти аппроксимацию закона распределения этой суммы. В соответствии с центральной предельной теоремой результатом будет нормальный закон с соответствующими параметрами[1][8].

Другим примером применения дисперсии в предельных теоремах служит следующий факт. Если для последовательности случайных величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_1, \xi_2, ... \xi_n} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Var \xi_n \rightarrow 0} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \rightarrow \infty} , то для любого положительного значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon } Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \left ( | \xi_n - E \xi_n | > \varepsilon \right ) \rightarrow 0} . Это означает, что при больших значениях Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} случайная величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_n } практически совпадает с её математическим ожиданием. Продолжение подобных представлений позволяет доказывать закон больших чисел, обосновывать состоятельность статистических оценок. Кроме того, возможны и другие применения, где для случайных величин выявляется сходимость по вероятности[1].

Другое применение в области предельных теорем связано с понятием нормировки. Для проведения нормировки случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} необходимо вычесть из неё математическое ожидание, после чего результат поделить на среднее квадратическое отклонение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma \xi } , то есть вводится в рассмотрение случайная величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta = \frac { \xi - E \xi } { \sigma \xi }} . Нормировка последовательности случайных величин обычно необходима для получения сходящейся последовательности законов распределения, в частности сходимости к стандартному нормальному закону.

Вторым направлением является применение понятия дисперсии в математической статистике при обработке выборок. Для анализа результатов наблюдений часто необходимо рассматривать не один теоретический закон распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_ \xi (x)} случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} , а семейство законов распределения, зависящих, как минимум, от двух параметров — математического ожидания и дисперсии. В этом случае анализ выборочных данных также производится с предварительным использованием нормировки[1].

Примечания

  1. ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 Тутубалин В. Н. Дисперсия. БРЭ (24 декабря 2022). Дата обращения: 5 января 2026. Архивировано 28 октября 2025 года.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Москва: Высшая школа, 2006. — С. 92—103. — 575 с. — ISBN 5-06-005688-0.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — Москва: УРСС, 2005. — С. 154—165. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
  4. ↑ 4,0 4,1 Феллер В. Введение в теорию вероятностей. — Москва: Мир, 1984. — Т. 1. — С. 242—248. — 528 с.
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Боровков А. А. Теория вероятностей. — Москва: Наука, 1986. — С. 91—93. — 432 с.
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — Москва: Наука, 1987. — С. 103—107. — 240 с.
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2007. — С. 93—96. — 160 с.
  8. ↑ Центральная предельная теорема. БРЭ (30 ноября 2023). Дата обращения: 5 января 2026. Архивировано 10 августа 2025 года.
Источник — https://znanierussia.ru/articles/index.php?title=Дисперсия_случайной_величины&oldid=2173501