Расстояние

Расстоя́ние — количественная мера отделённости объектов друг от друга. Это базовое понятие используется во многих областях знания. В физике и технике расстояние выражается в единицах длины, в математике — определяется через метрику, а в прикладных дисциплинах — имеет множество вариантов в зависимости от задачи .

Основные свойства расстояния: неотрицательность, равенство нулю при совпадении объектов, симметричность, соблюдение неравенства треугольника.

Расстояние между предметами

В математике

В математике расстояние определяется через понятие метрики — функции, которая каждой паре точек ставит в соответствие неотрицательное вещественное число. Метрика d(x, y) должна удовлетворять следующим аксиомам:

• Неотрицательность: $d(x,y)\geqslant 0$ для любых точек x и y;
• Идентичность: $d(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда x = y;
• Симметрия: $d(x,y)=d(y,x)$ для любых точек x и y;
• Неравенство треугольника: $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ для любых точек x, y и z.

Наиболее распространённой является евклидова метрика, соответствующая обыденному представлению о расстоянии как о длине отрезка между двумя точками. На плоскости расстояние между точками с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычисляется по формуле, следующей из теоремы Пифагора:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

В трёхмерном пространстве формула дополняется третьей координатой:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$

Расстояние между геометрическими объектами (прямыми, плоскостями) определяется как наименьшее расстояние между принадлежащими им точками.

Расстояние на линейке

В физике

В физике расстояние понимается как длина кратчайшего пути между двумя точками пространства. Единицей измерения расстояния в Международной системе единиц (СИ) является метр.

При описании движения тел различают три связанные величины:

• Расстояние — длина кратчайшего отрезка между двумя точками;
• Перемещение — вектор, направленный от начальной точки к конечной;
• Пройденный путь — скалярная величина, равная длине траектории движения.

Для измерения расстояний применяются различные методы в зависимости от масштаба: линейки и рулетки — для бытовых измерений, лазерные дальномеры и радары — для средних дистанций, интерферометры — для высокоточных измерений.

В специальной теории относительности измеряемое расстояние зависит от системы отсчёта наблюдателя (лоренцево сокращение). Инвариантной величиной является собственная длина — расстояние, измеренное в системе отсчёта, связанной с объектом.

На астрономических масштабах используются специальные определения расстояния:

• Световое расстояние — путь, пройденный светом за определённое время;
• Фотометрическое расстояние — определяется по видимой звёздной величине объекта;
• Угловое расстояние — вычисляется по видимому размеру объекта известных размеров.

Манхэттенское расстояние

Нестандартные способы измерения

В прикладной математике для задач на сетках или в городских условиях часто используют альтернативные метрики. Эти модели удобны для задач навигации, логистики и теории игр:

• манхэттенское расстояние (сумма шагов по сетке): $d=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right|$
• чебышёвское расстояние (число ходов шахматного короля): $d=\max(|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|)$